Е. Ветвящиеся процессы
Предположим, что организм в конце своего времени жизни производит случайное число I потомков согласно распределению вероятностей
где, как обычно 
. В свою очередь потомки независимо друг от друга в конце своего времени жизни (для
простоты продолжительность жизни предполагается одинаковой для всех организмов) производят потомство, каждый в соответствии с распределением (2.11), продолжая таким образом свой биологический вид. Процесс 
где 
численность популяции в 
поколении, представляет собой марковскую цепь.
В самом деле, в конечномерном распределении случайных величин 
существенны лишь данные последней переписи популяции, поскольку число потомков является функцией числа непосредственных предков и только. Матрица переходных вероятностей, очевидно, определяется соотношением
где 
независимые наблюдения с. в., имеющей распределение (2.11). Формулу (2.12) можно объяснить следующим образом. Независимо друг от друга 
индивидуумов, составляющих 
поколение популяции, производят потомство 
в количестве 
Следовательно, общее число потомков равно 
Мы знаем, что производящая функция суммы 
равна 
где 
производящая функция распределения вероятностей с. в. 
(Мы опираемся здесь на свойство композиции производящих функций для случая суммы независимых с. в. См. § 1 гл. 1.) Следовательно, 
является коэффициентом при 
степени в степенном разложении функции 
.
