§ 7. ПРОЦЕССЫ РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛЙ С ПОГЛОЩАЮЩИМИ СОСТОЯНИЯМИ

Представляет интерес рассмотреть такие процессы рождения и гибели, у которых Это предположение делает нулевое состояние поглощающим. Если переход осуществляется из состояния 1, частица перемещается в состояние 2 с вероятностью или попадает в состояние 0 (и остается там в дальнейшем) с вероятностью Важным примером процесса рождения и гибели, где состояние 0 поглощающее, является процесс линейного роста без иммиграции (ср. с примером 1 § 6).

В этом случае Поскольку рост популяции обязан исключительно существованию популяции, ясно, что когда размер популяции становится равным 0, он остается равным нулю и после этого, т. е. 0 является поглощающим состоянием.

А. Вероятность поглощения в состоянии 0

Представляет интерес нахождение вероятности поглощения в состоянии 0 при начальном состоянии Такое поглощение не является априори достоверным событием, поскольку возможно, что частица (т. е. переменная, характеризующая состояние) будет все время блуждать по состояниям или, быть может, уходить в бесконечность.

Пусть -вероятность поглощения в состоянии 0 из начального состояния Можно написать рекуррентное соотношение для рассматривая возможные состояния после первого перехода. Мы знаем, что при первом скачке осуществляются следующие переходы:

Непосредственно получаем

где Другой метод получения (7.1) состоит в рассмотрении «вложенного случайного блуждания», связанного с процессом рождения и гибели. Именно рассмотрим процесс рождения и гибели только в моменты переходов. Цепь Маркова с дискретным временем, получающуюся при этом, обозначим через начальное состояние, состояние после перехода. Очевидно, матрица переходных вероятностей имеет вид

где

Вероятность поглощения в состоянии 0 для вложенного случайного блуждания совпадает с аналогичной вероятностью для

процесса рождения и гибели, поскольку оба процесса совершают одни и те же переходы.

Обратимся к задаче решения (7.1) при условиях, что Перепишем (7.1):

Введем переменную Получим

Итерируя последнее соотношение, найдем

Суммируя эти уравнения от до получим

Поскольку в силу определения ограничена числом 1, мы видим, что если

то с необходимостью при всех Другими словами, если выполнено равенство (7.3), то из любого начального состояния происходит поглощение в 0 с вероятностью 1.

Пусть Тогда, конечно,

Очевидно, не возрастает с ростом поскольку при переходе из состояния в состояние 0 процесс попадает во все промежуточные состояния. Более того, мы утверждаем, что 0 при

Если предположить противное, т. е. , то простые вероятностные рассуждения показывают, что

(Читатель должен уметь доказать это формально.) Далее, устремляя в (7.2), найдем

и кроме того имеем

В частном случае процесса рождения и гибели с линейным ростом, где непосредственное вычисление показывает, что

Б. Среднее время до поглощения

Рассмотрим задачу нахождения среднего времени до поглощения, начиная из состояния

Предположим, что условие (7.3) выполнено, так что поглощение происходит с вероятностью 1. Заметим, что в данном случае задачу нельзя свести к изучению вложенного случайного блуждания, поскольку действительное время, проводимое процессом в каждом состоянии, существенно для нахождения среднего времени до поглощения.

Пусть среднее время (быть может, бесконечное) до поглощения при начальном состоянии Рассматривая возможные состояния, следующие за первым переходом, и вспоминая тот факт, что среднее время пребывания в состоянии равно (это время имеет экспоненциальное распределение с параметром получим рекуррентное соотношение

где по условию Полагая и комбинируя члены в (7.4), получим

Итерируя это соотношение, найдем

и, наконец,

(Произведение полагается равным Иначе

Более удобно записать

где

Затем, используя (7.7), соотношение (7.6) перепишем в виде

Заметим, что если то из (7.8) следует, что с необходимостью . В самом деле, из вероятностных соображений очевидно, что для всех а это свойство было бы нарушено для больших если бы мы предположили, что

Предположим теперь, что Тогда, полагая в (7.8), получим

Можно показать, хотя и достаточно сложно, что

Тогда, очевидно,

Подведем итоги этого параграфа в виде следующей теоремы.

Теорема 7.1. Рассмотрим процесс рождения и гибели с параметрами так что 0 является поглощающим состоянием.

Вероятность поглощения в состоянии 0 при начальном состоянии равна

Среднее время до поглощения равно

где .

В случае процесса рождения и гибели с линейным ростом среднее время до поглощения из состояния 1 равно