§ 5. ПРИМЕР ИЗ ТЕОРИИ ОЧЕРЕДЕЙ

Рассмотрим модель процесса обслуживания из гл. 2 (пример В), Матрица переходных вероятностей соответствующей марковской цепи имеет вид

(На самом деле при дальнейшем анализе нам потребуются только два условия: обеспечивающие неприводимость марковской цепи.) Мы покажем, что если то система уравнений имеет ограниченное решение, отличное от константы, что, согласно теореме 4.1, означает невозвратность процесса. Положим тогда упомянутая система уравнений принимает вид

или

Так как то из условия следует, что существует точка такая, что Это легко видеть на рис. 1. Вектор и представляет собой искомое ограниченное решение, очевидно, не являющееся постоянным.

Пусть теперь . Тогда, полагая имеем

Таким образом, в силу теоремы 4.2 процесс является возвратным, если

Прежде чем обратиться к вопросу о том, является ли процесс возвратным нулевым или возвратным положительным, рассмотрим следующую вспомогательную задачу, представляющую самостоятельный интерес.

Рис. 1.

Пусть последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения с вероятностями

и пусть Определим как значение параметра и, для которого впервые становится отрицательным, и пусть

Пусть

есть производящая функция распределения (5.1). Пусть есть случайная величина, равная первому значению параметра для которого где неотрицательное целое число). Поскольку каждая из с. в. нетрудно убедиться в том, что где с. в. независимые и

одинаково распределенные в соответствии с (5.1). Производящая функция с. в. очевидно, равна Пусть есть коэффициент при в разложении функции Наконец, положим

Наша цель — выразить через Для этого запишем следующие соотношения типа уравнений восстановления:

Первое из этих соотношений очевидно. Что касается второго, то событие представляет собой объединение следующих несовместных событий: Так как с. в. независимы и одинаково распределены, вероятности этих событий, как легко видеть, равны Формула полных вероятностей дает (5.3). Переходя к производящим функциям, с помощью (5.3) получаем

Далее, непрерывна и строго возрастает при , причем Следовательно, удовлетворяет уравнению при Но

так что функция является выпуклой; к тому же, по определению Из рис. 2 легко заключить, что уравнение может иметь самое большее два положительных решения при каждом фиксированном

Поскольку и строго возрастает на интервале [0, 1], то должно быть меньшим из двух решений уравнения если таковых два.

Исследуем теперь условия, при которых или -Возникают следующие две возможности:

Рис. 2.

Случай 1. Условие эквивалентно тому, что Из рис. 2 видно, что Следовательно, вероятность события при всех строго положительна.

Случай 2. Условие эквивалентно тому, что и в этом случае мы имеем Далее, при так что в рассматриваемом случае при (рис. 3). Отсюда следует, что если т. е. если

то

если

то

Возвращаясь к процессу обслуживания, поставим в соответствие распределению распределение количества поступающих заявок за период следующим образом:

Рис. 3.

Определим как число переходов (время), требующееся для того, чтобы впервые попасть в состояние из состояния Нетрудно видеть, что есть в точности с. в. производящую функцию которой мы только что рассматривали. Так как

то мы имеем

и, аналогично,

Следовательно, если Ясно, что

и поэтому в частности,

Рассмотрим теперь среднее время возвращения в состояние 0. Отметим прежде всего, что вероятность времени возвращения быть равным 1 есть просто т. е. вероятность перехода Далее, траектории, которые выходят из состояния 0 и возвращаются в это состояние впервые за два или более переходов, могут быть разбиты на группы в зависимости от состояния занимаемого после первого перехода. Такое разложение в совокупности с марковским свойством процесса позволяет получить для среднего времени возвращения следующее выражение:

Таким образом,

т. е. при условии

и

или, что то же, если

Резюмируя полученные результаты, имеем

и

Эти результаты представляются довольно естественными. Выражение есть среднее число требований, прибывающих за один период обслуживания. Тогда если то в среднем больше заявок поступает, чем обслуживается за каждый период. Следовательно, можно ожидать, что очередь будет расти беспредельно. С другой стороны, если то процесс стремится к некоторому стационарному состоянию. Нахождение стационарного распределения связано со значительными трудностями (см. гл. 14).