§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ТРАЕКТОРИЙ И ИХ МАКСИМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

Броуновское движение — физический процесс, и это наводит на мысль, что возможные реализации как графики изменения положения частицы (т. е. выборочные траектории), движения которой определяются непрерывными столкновениями с молекулами окружающей среды, являются непрерывными функциями времени. Этот факт является верным, но его строгое доказательство требует довольно тонкого анализа. Выборочные траектории хотя и непрерывны, но весьма причудливы, и у них ни в одной точке не существует производной. Этот факт является довольно глубоким. Исчерпывающее описание структуры выборочных траекторий процесса броуновского движения можно найти у П. Леви, а также у Ито и Маккина (см. ссылки в конце этой главы).

Используя свойство непрерывности траекторий, покажем, как вычислить различные интересные вероятностные характеристики броуновского движения. Первый пример иллюстрирует использование так называемого принципа отражения.

Имея в виду непрерывность рассмотрим множество траекторий обладающих тем свойством, что . Поскольку непрерывна и существует момент (который сам является случайной величиной, зависящей от рассматриваемой выборочной траектории), в который впервые достигает значения а.

При построим отражение относительно прямой и обозначим

(рис. 1). Заметим, что поскольку Так как вероятностный закон развития процесса при при условии, что симметричен по отношению к значениям и не зависит от предыстории процесса до момента операция отражения ставит в соответствие каждой выборочной траектории две равновероятные выборочные траектории такие, что

Обратно, в силу самой природы этого соответствия каждая траектория для которой является одной из двух равновероятных выборочных траекторий, одна из которых такова, что если Но Таким образом,

можно заключить, что если то

Приведенное выше рассуждение нельзя считать исчерпывающим, хотя этот метод и типичен для многих задач анализа случайных процессов с непрерывными траекториями. (Такие процессы называются диффузионными.)

Рис. 1.

Строгое обоснование включало бы использование строго марковского свойства для марковского времени (см. гл. 8, § 4), соответствующего первому прохождению уровня а.

С помощью этого же «принципа отражения» можно теперь решить следующую задачу: найти

для Чтобы найти (3.2), запишем очевидное соотношение

и применим принцип отражения к последнему члену.

Рис. 2 поясняет рассуждение. Можно заключить, что

Обосновать (3.4) можно следующим образом. Рассмотрим траекторию, начинающуюся в точке удовлетворяющую условию у и достигающую значения 0 в некоторый промежуточный момент Отражая такую траекторию относительно нуля после момента получаем траекторию, начинающуюся из х и достигающую значения, меньшего, чем , в момент Отсюда получается первое равенство в соотношении (3.4).

Рис. 2.

Второе равенство очевидно, поскольку условие излишне при выполнении неравенства Подставляя (3.4) в (3.3), получаем

С помощью соотношения (3.4) можно определить распределение момента первого достижения уровня при условии, что

Пусть момент первого достижения траекторией значения а, где Тогда, очевидно,

Но в соответствии с (3.1)

и поэтому

Делая замену переменной получаем

Функция плотности случайной величины Та получается дифференцированием (3.6) по Таким образом,

В силу симметрии и пространственной однородности процесса броуновского движения мы заключаем, что

Другой способ получения результата (3.8) состоит в следующем. Если то вероятность того, что имеет хотя бы один нуль между равна

С помощью этой формулы можно найти вероятность а того, что если то обращается в нуль хотя бы один раз на интервале

В действительности мы налагаем условие на возможные значения Так, если то вероятность того, что обращается в нуль на интервале хотя бы раз, равна . В силу формулы полной вероятности

Подставляя в (3.10) выражение (3.9) и меняя затем порядок интегрирования, получим

Внутренний интеграл может быть взят, и после упрощения получаем

После замены переменных получим выражение

которое можно записать с помощью стандартных тригонометрических соотношений в виде

В результате получаем следующую теорему.

Теорема 3.1. Вероятность того, что имеет по крайней мере один нуль в интервале при условии, что равна

Проведенные вычисления и обсуждения являются лишь введением в сложную структуру процесса броуновского движения. Существует множество фундаментальных связей между процессами броуновского движения и различными типами случайных процессов, возникающих в физике, биологии и экономике. Мы отсылаем читателя к специальным книгам, посвященным этой теме.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ЗАМЕЧАНИЯ

Содержание этой главы полностью основывается на классической работе Леви [1], в особенности на ее гл. 6.

Мы рекомендуем также блестящую монографию Каца [2], где можно найти приложения броуновского движения к статистической механике и математическому анализу.

Выдающейся работой по диффузионным процессам, которая завершает и глубоко обобщает работу Леви, является книга Ито и Маккина [3].

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)