§ 6. ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕРВАЛОВ МЕЖДУ ПОСТУПЛЕНИЯМИ И ОБОБЩЕНИЯ (Ek/М/1)

Это частный случай предыдущей модели, который может быть исследован с помощью изящного приема, широко применяемого также и в других задачах. Рассмотрим одноканальную систему с экспоненциально (с параметром распределенным временем обслуживания и с интервалами между моментами поступления, имеющими гамма-распределение порядка с плотностью

Функцию распределения можно считать распределением суммы независимых случайных величин, каждая из которых распределена экспоненциально с параметром Следовательно, можно свести задачу к анализу марковского процесса, считая, что каждое поступление состоит из фаз в каждой из которых требование проводит экспоненциально (с параметром Я) распределенное время, а затем переходит к следующей фазе. Действительное поступление требования в систему соответствует его достижению фазы. В любой момент времени лишь одно требование находится в одной из фаз причем новое требование поступает на фазу 0 в момент, когда предшествующее требование покидает фазу

Состояние системы определяется как сумма соответствующих всем требованиям фаз. Таким образом, если система находится в состоянии это означает, что требований находится либо в очереди, либо на обслуживании (что соответствует фазе), а еще одно требование находится на фазе поступления». Когда какое-либо требование заканчивает обслуживаться, состояние системы убывает на

Тем самым определена цепь Маркова с непрерывным временем, инфинитезимальная матрица которой равна

Можно найти равновесные свойства данной цепи Маркова с непрерывным временем. Мы не будем этим заниматься, поскольку, как упомянуто выше, рассматриваемый пример является частным случаем системы которая рассматривалась в § 5. Преимущество описанного приема состоит в том, что, используя марковский характер процесса, можно найти его переходные характеристики. Обсуждение этого вопроса выходит за рамки данной книги.

А. Гамма-распределение времени обслуживания и произвольный (рекуррентный) входящий поток

Можно использовать приемы, изложенные в последних нескольких параграфах, для нахождения стационарных характеристик процесса обслуживания с одним обслуживающим прибором с произвольным распределением интервалов между моментами поступления и гамма-распределением порядка с параметром времени обслуживания.

Будем считать, что обслуживание состоит из фаз в каждой из которых требование проводит экспоненциально (с параметром распределенное случайное время. После того как обслуживание на фазе завершилось, требование покидает систему.

Построим вложенную цепь Маркова, переходы которой обусловлены поступлением требований. Пусть состояние цепи между моментами поступления равно где число требований в системе, номер фазы обслуживания, на которой находилось в момент последнего поступления обслуживаемое требование. Поскольку число фаз, которое осталось пройти обслуживаемому требованию, то состояние системы

можно интерпретировать как число экспоненциально распределенных интервалов времени, которые должны завершиться прежде, чем вновь поступившее требование начнет обслуживаться. Если то состояние системы полагается равным 0.

Вероятности перехода за один шаг для данной цепи имеют следующий вид. При всех

(1) если

(2) если то в одном интервале между моментами поступления содержится экспоненциально распределенных отрезков и

где Вывод этого равенства идентичен выводу выражения для на стр. 477,

(3) наконец, есть вероятность того, что сумма экспоненциально распределенных отрезков времени не превышает длину интервала между моментами поступления:

Б. Стационарные вероятности

Если нагрузка системы

меньше 1, то мы ожидаем, что вероятностное распределение состояний системы стремится к предельному. Такое стационарное распределение пропорционально неотрицательной сходящейся последовательности удовлетворяющей равенству

По аналогии с предыдущими моделями выберем пробное решение в виде

где X — некоторое действительное число. При из (6.1) получаем

или

где

С помощью теоремы Руше можно доказать, что функция при имеет корней (считая и кратные).

В частности, теорема Руше утверждает, что если аналитические функции в области при значениях принадлежащих границе то функции имеют в одинаковое количество нулей. (Доказательство этой теоремы можно найти в любом учебнике по теории функций комплексного переменного.) Применим теперь теорему Руше для случая В самом деле, при имеем . Далее, при (поскольку степенной ряд с неотрицательными коэффициентами). Но при

Кроме того, непосредственный подсчет показывает, что

поскольку по предположению Отсюда следует, что при достаточно малых В силу теоремы Руше заключаем, что функции имеют в области одинаковое количество нулей.

Если обозначить корней через то последовательность будет удовлетворять уравнению (6.2) при любом

Можно попытаться найти линейную комбинацию

такую, что система уравнений удовлетворяется при Действительно, уравнения при удовлетворяются при любом выборе коэффициентов поскольку любая последовательность является решением и их линейная комбинация вновь является решением. Остается найти постоянные такие, чтобы первые уравнений системы также удовлетворялись. В случае если все различны, совершая некоторые алгебраические преобразования, получим точное решение (в котором произведена нормировка

где

Изменения, которые необходимо внести в случае кратных корней, а также соответствующие подробности утомительны и будут опущены.

В. Время ожидания

Выше было указано, что состояние системы определялось как число экспоненциально (с параметром распределенных отрезков времени, которые составляют время ожидания вновь поступившего требования. Следовательно, если состояние системы равно то время ожидания только что поступившего требования имеет гамма-распределение порядка с параметром Если время ожидания равно 0. Следовательно,

В случае различных корней можно подставить выражение для приведенное выше, и получить