Глава 4. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ

Алгебраические методы либо их сочетание с вероятностными позволяют получить многие важные результаты теории марковских цепей. Мы остановимся на ряде таких методов в настоящей главе. Для того чтобы не уходить далеко от основного предмета, мы дадим лишь краткую сводку основных результатов из теории матриц, которые потребуются нам в дальнейшем. Более полное изложение этих результатов читатель найдет в приложении.

§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

При рассмотрении марковских цепей вычисление вероятностей перехода за шагов занимает очень важное место. Для этой цели мы разовьем специальный аппарат, основывающийся на теории собственных значений и собственных векторов. (Специальные методы для исследования марковских цепей, описывающих процессы случайного блуждания, будут изложены в § 4-6.)

(а) Спектральное представление

Пусть А — квадратная матрица порядка Ненулевой вектор х, удовлетворяющий соотношению для некоторого комплексного числа Я, называется правым собственным вектором матрицы А, принадлежащим (или соответствующим) собственному значению . Если то мы назовем вектор х левым собственным вектором матрицы А. Если правые (или же левые) собственные векторы образуют базис в -мерном линейном пространстве, то существуют линейно независимое семейство правых собственных векторов и линейно независимое семейство левых собственных векторов матрицы А, являющиеся биортогональными системами. Это значит, что

где число, комплексно сопряженное числу этом случае говорят, что матрица А диагонализируемая. Пусть

где собственные числа (не обязательно различные) матрицы соответствующие им собственные векторы. (Отметим, что нумерация элементов матрицы отличается от обычной.) Тогда матрица А обладает представлением, называемым спектральным, в виде произведения трех специальных матриц:

Используя соотношение можно непосредственно убедиться, что (I — единичная матрица). Отсюда , и вообще

где, очевидно,

В случае если А — марковская матрица, формула (1.1) дает удобное представление матрицы -шаговых переходных вероятностей. Правда, его эффективное использование требует вычисления всех левых и правых собственных векторов.

(б) Положительные матрицы

Пусть А — действительная матрица, которая имеет по крайней мере один положительный элемент, но не имеет ни одного отрицательного элемента. В этом случае мы будем писать и называть матрицу А положительной. Если все элементы матрицы А положительны, то мы будем писать и называть матрицу А строго положительной. Нам понадобятся следующие результаты (их доказательства вынесены в приложение).

Каждой матрице соответствует число называемое спектральным радиусом матрицы А, которое равно нулю тогда и только тогда, когда для некоторого целого числа

Если то существуют положительные векторы такие, что Если X — любое собственное значение матрицы А, то если то есть корень из единицы, для некоторого положительного целого числа является собственным значением матрицы А при Наконец, предположим, что для некоторого тогда векторы строго положительны и определены однозначно с точностью до постоянного скалярного множителя. Более того, если Я — собственное значение матрицы А, отличное от то