§ 4. ПРОЦЕССЫ РОЖДЕНИЯ И ГИБЕЛИ

Одно из очевидных обобщений процессов чистого рождения, обсужденных в § 1, состоит в том, чтобы позволить процессу как возрастать, так и убывать, например, из-за гибели членов популяции. Таким образом, если в момент процесс находится в состоянии , он может через некоторый случайный отрезок времени перейти в любое из соседних состояний или Возникающие при этом «процессы рождения и гибели» могут рассматриваться как процессы с непрерывным временем, служащие аналогами случайных блужданий (см. пример Б, § 2 гл. 2).

А. Постулаты

Мы предположим, что, как и в случае процессов чистого рождения, является марковским процессом с состояниями и что его вероятности перехода стационарны, т. е.

Кроме того, предположим, что удовлетворяет постулатам:

В каждом из этих случаев член может зависеть от . Матрица

называется инфинитезимальной матрицей процесса. Параметры называются инфинитезимальными интенсивностями рождения и гибели соответственно. В постулатах 1 и 2 предполагается, что если процесс находится в состоянии то за малый интервал времени вероятность того, что размер популяции увеличится или уменьшится на 1, пропорциональна длине этого интервала. Иногда рассматривают случай, когда нулевое состояние является поглощающим, т. е. (см. § 7).

Поскольку вероятности, то и

Используя марковское свойство процесса, можно получить уравнение Колмогорова — Чэпмена

Смысл этого уравнения следующий: для того чтобы перейти из состояния в состояние за время процесс в момент должен принять некоторое значение а затем перейти из этого состояния в за оставшееся время Это аналог формулы (3.2) гл. 2 для непрерывного времени.

До сих пор рассматривались лишь вероятности перехода Для того чтобы найти вероятность события нужно знать, в каком состоянии процесс находился в начальный момент времени, или, в более общем случае, — распределение начального состояния, Тогда

где

Б. Длительности пребывания

Используя принятые допущения, можно найти распределение случайной величины которая является длительностью пребывания процесса в состоянии То есть мы найдем распределение времени до первого выхода процесса из состояния при условии, что вначале процесс находился в состоянии Обозначая

получим в силу марковского свойства, что при О

или

и поэтому

Если использовать условие то найдем

т. е. имеет экспоненциальное распределение со средним Приведенное доказательство не вполне корректно, поскольку было использовано соотношение

без формального доказательства этого факта. Строгое доказательство справедливости (4.4) будет дано в § 4 гл. 8.

В соответствии с постулатами 1 и 2 в течение временного интервала длины переход из состояния происходит с вероятностью а в состояние вероятностью Интуитивно ясно, что при условии осуществления перехода в момент вероятность того, что процесс перейдет при этом в состояние равна а вероятность перехода в состояние равна Строгое доказательство этого утверждения выходит за рамки данной книги, однако обсуждение его и связанных с ним тонкостей будет дано ниже (см. гл. 8).

Развитие процесса можно описать следующим образом. Процесс проводит в данном состоянии случайное время, функция распределения которого является экспоненциальной с параметром Из состояния процесс переходит в состояния либо вероятностями соответственно. Динамика аналогична случайному блужданию, за исключением того, что переходы осуществляются в случайные моменты времени, а не в фиксированные.

Традиционная процедура построения реализаций процессов рождения и гибели состоит в задании параметров рождения и гибели и построении выборочных траекторий следующим образом. Предположим, что частица проводит случайное время (экспоненциально распределенное с параметром

в состоянии а затем переходит с вероятностью в состояние а с вероятностью в состояние Затем частица проводит случайное время в новом состоянии и вновь переходит в одно из соседних состояний и т. д. Более точно, мы выбираем значение из экспоненциального распределения с параметром которое фиксирует время пребывания в состоянии Затем бросается монета, у которой вероятность выпадения герба равна Если выпадает герб (решетка), мы переводим частицу в положение . В состоянии выбирается значение из экспоненциального распределения с параметром которое фиксирует время пребывания во втором по счету состоянии. Если частица при первом переходе попала в состояние то следующее время пребывания выбирается из экспоненциального распределения с параметром После этого вновь проводится биномиальное испытание, выбирающее следующее состояние, и т. д.

Исход этой процедуры выборок определяет реализацию процесса. Она может иметь вид

Таким образом, делая выборки из экспоненциального и биномиального распределений соответственно, мы строим реализации процесса. Далее, возможно ввести на этом множестве реализаций (траекторий процесса) вероятностную меру таким образом, чтобы определяемые ей вероятности удовлетворяли соотношениям (4.2) и (4.3) и инфинитезимальным соотношениям (см. стр. 212). Этот результат довольно глубокий, и его строгое обсуждение лежит за пределами настоящей книги. Процесс, полученный таким образом, называется минимальным процессом, связанным с матрицей А.

Приведенная выше конструкция минимального процесса является фундаментальной, поскольку инфинитезимальные параметры не определяют, вообще говоря, единственный вероятностный процесс, удовлетворяющий (4.2), (4.3) и постулатам, приведенным на стр. 212. На самом деле может быть несколько марковских процессов, обладающих одной и той же матрицей инфинитезимальных переходных вероятностей. Вопрос этот довольно сложен, и читатель может найти его в книге Чжун Кай-лая. В частном случае процессов рождения и гибели

достаточным условием, при котором существует единственный марковский процесс с переходными вероятностями удовлетворяющими инфинитезимальным соотношениям (4.2) и (4.3), является

где

В большинстве реальных примеров процессов рождения и гибели выполняется условие (4.5), и процесс, удовлетворяющий этому условию, определен единственным образом.