§ 2. СОВМЕСТНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ ДЛЯ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Переходная плотность (1.4) дает вероятностное распределение только для величины 
Полное описание процесса броуновского движения дается следующим определением.
Определение 2.1. Броуновское движение является случайным процессом 
со следующими свойствами:
(а) любое приращение 
нормально распределено со средним значением 0 и дисперсией 
фиксированный постоянный параметр;
(б) для любых двух непересекающихся интервалов 
приращения 
- независимые случайные величины с распределениями, указанными в пункте (а); аналогичное свойство имеет место и для 
непересекающихся интервалов, где 
произвольное положительное целое число.
Таким образом, мы постулируем, что смещение 
не зависит от прошлого, или, другими словами, если известно 
то никакая дополнительная информация о поведении 
при 
не влияет на наше знание вероятностного закона, «управляющего» приращением 
Формально это означает, что при 
Это говорит о марковском характере процесса. Подчеркнем, однако, что предположение (б) о независимости приращений на самом деле более ограничительно, чем марковское свойство. В силу пункта (а) определения при 
имеем
Согласованность пункта (б) определения с пунктом (а) следует из известных свойств нормального распределения, например если 
то
Слагаемые справа являются независимыми случайными величинами со средними 0 и дисперсиями 
и 
-соответственно. Следовательно, их сумма распределена нормально со средним 0 и дисперсией 
как и должно быть.
Используя (2.1) и (2.2), нетрудно найти совместную плотность величин 
при условии, что 
. В самом деле, для этого нам необходимо лишь знать плотность вероятности того, что 
и т.д. и, наконец, 
. В силу пункта (б) определения сразу получаем следующее выражение для функции плотности:
где
Имея формулу (2.3), можно в принципе найти любые интересующие нас условные вероятности.
Из марковского свойства следует, что если 
то условная плотность величины 
при известных 
совпадает с условной плотностью величины 
при известной величине 
Однако плотность величины 
при известных 
также представляет интерес. Предположим для определенности, что 
В силу (2.3) совместная плотность 
равна
Отсюда следует, что условная плотность величины 
при условии 
которую мы обозначим через 
равна
В частности, 
где 
означает математическое ожидание, взятое при условии 
Такими же методами можно получить более общий интерполяционный результат.
Теорема 2.1. Условная плотность величины 
при условии, что 
является нормальной со средним
и дисперсией
Это можно свести к разобранному случаю следующим образом. Рассматриваемая условная случайная величина 
т. е. д. с. в. 
при условии, что 
имеет такую же плотность, как и случайная величина 
при условии, что 
которая в свою очередь имеет такую же плотность, как и случайная величина
при условии, что 
