§ 8. ВИРТУАЛЬНОЕ ВРЕМЯ ОЖИДАНИЯ И ПЕРИОД ЗАНЯТОСТИ

В этом параграфе рассматривается другой подход к задаче о времени ожидания для одноканальной системы обслуживания с пуассоновским входящим потоком и произвольным распределением времени обслуживания Будут также получены некоторые результаты, относящиеся к периоду занятости данной системы. Для этой цели будет использован материал гл. 9, § 3.

Поскольку процесс обслуживания в целом является немарковским, мы выше рассматривали вложенную цепь Маркова и анализировали времена ожидания требований, используя ее. Однако если рассмотреть величину иногда называют виртуальным временем ожидания), которая равна времени, в течение которого должно было бы ожидать требование, если бы оно поступило в момент то определяет марковский процесс с непрерывным временем. Так, если момент поступления и время обслуживания требования соответственно, то при имеем

и

Обозначим через К параметр входящего потока (который по предположению пуассоновский), а через распределение времени обслуживания. Типичная реализация процесса показана на рис. 1. Очевидно, что будущее поведение траектории не зависит от ее предыстории до попадания в текущее состояние. В самом деле, поскольку значения являются моментами наступления событий пуассоновского потока, то время для следующего поступления требования не зависит от того, когда поступило предыдущее требование.

Можно дать величине другую интерпретацию как времени, необходимому для завершения обслуживания всех требований, имеющихся в системе в момент

Рис. 1.

Действительное время ожидания требования равно Обозначим

Можно вывести интегро-дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет Это уравнение может быть проанализировано с целью нахождения свойств функции В § 3 было доказано, что функция распределения времени ожидания требования

сходится к предельному распределению при . С помощью соответствующих теорем восстановления можно доказать также сходимость функции и показать, что ее предел совпадает с пределом функций Дальнейшие подробности выходят за рамки данной книги (см. литературу в конце данной главы).

В оставшейся части главы будут рассмотрены различные представляющие интерес случайные величины, связанные с системой

Заметим, что если то обслуживающий прибор в момент занят, а если то свободен. Пусть

т. е. вероятность того, что прибор в момент свободен.

Период занятости определяется как такой временной интервал, - в течение которого прибор постоянно занят. Если т. е. обслуживающий прибор в момент занят, то существует начальный период занятости, который заканчивается, когда в первый раз обращается в 0. Обозначим через вероятность того, что длительность начального периода занятости Следующие за начальным периодом занятости (если таковой имеется) периоды незанятости и занятости чередуются. Длительности периодов занятости, следующих за начальным, являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, поскольку каждый последующий период занятости начинается в одних и тех же условиях. Обозначим через вероятность того, что длительность периода занятости (отличного от начального) Периоды незанятости также являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, функция распределения которых экспоненциальна с параметром Я.

Нашей первоочередной задачей является доказательство теоремы 8.1, сформулированной ниже. Это доказательство опирается на один результат, полученный в гл. 9, § 2, который мы для удобства приведем здесь в виде леммы 8.1.

Лемма 8.1. Пусть неотрицательные перестановочные случайные величины с суммой пусть координаты (расположенные в порядке возрастания) точек, распределенных равномерно и независимо друг от друга на интервале Если и - независимые последовательности, то

Доказательство леммы 8.1 и ее применения даны в гл. 9 (см., в частности, § 2). Приведем еще одну лемму.

Лемма 8.2. Пусть неотрицательные перестановочные случайные величины с суммой и пусть координаты (расположенные в порядке

возрастания) точек, распределенных равномерно и независимо друг от друга на интервале Если независимые последовательности, то

Доказательство. В силу леммы

Далее, в силу формулы полной вероятности

поскольку перестановочны и их сумма равна Отсюда, очевидно, получаем

Теорема 8.1. Если (с — постоянная), то вероятность того, что начальный период занятости имеет длительность равна

где -кратная свертка функции распределение, имеющее единичный скачок в точке 0).

Доказательство. Проведем вычисления, налагая условие на число поступивших требований. Число поступлений за начальный период занятости может принимать значения Если то начальный период занятости имеет длительность с,

а вероятность того, что за время не поступит ни одного требования, равна Таким образом, получен первый член суммы (8.3). Если то обозначим через моменты поступлений требований, а через длительности их обслуживания, Эти величины должны удовлетворять условиям

где сумма по пустому множеству индексов полагается равной нулю. Действительно, соотношение (8.4) утверждает, что суммарное время обслуживания требований, поступивших после момента

0, и требований, имевшихся в системе в момент 0, превышает момент поступления требования, Это условие, очевидно, гарантирует, что обслуживающий прибор занят по крайней мере до завершения обслуживания поступившего требования. Конечно,

Если то длительность начального периода занятости равна с а вероятность того, что в интервале поступит в точности требований, равна Моменты поступления можно считать координатами (расположенными в возрастающем порядке) точек, распределенных равномерно и независимо друг от друга в интервале (см. стр. 206, гл. 7). Далее, неотрицательные перестановочные случайные величины.

Вычитая неравенства (8.4) из получим эквивалентные соотношения

Пусть поскольку неравенства (8.5) можно переписать в виде

Но величины очевидно, вновь распределены как порядковых статистик равномерного распределения на (0, с Чтобы убедиться в этом, достаточно посмотреть на значения в обратном порядке, проходя интервал от точки с к точке 0. Требуемое утверждение получается из соображений симметрии. Кроме того, величины имеют совместное распределение, такое же, что и величины в силу перестановочности. Следовательно, событие (8.6) имеет ту же вероятность, что и событие

Обращаясь к лемме 8.1, мы заключаем, что вероятность события (8.7) равна

Учитывая все приведенные факты, с помощью формулы полной вероятности получаем

В следующей теореме выводится функция распределения периода занятости, отличного от начального.

Теорема 8.2. Вероятность того, что период занятости, отличный от начального, имеет длительность равна

Доказательство. Если предположить, что период занятости состоит из актов обслуживания, то его длительность равна независимые одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения . В этом случае за период занятости поступит в точности требований. Будем отсчитывать время от начала периода занятости и обозначим через моменты поступлений. Они должны удовлетворять условиям

Если то период занятости имеет длительность у, а моменты поступлений можно считать расположенными в порядке возрастания координатами точек, равномерно и независимо друг от друга распределенных в интервале Далее, неотрицательные перестановочные случайные величины. Если

то событие (8.9) имеет ту же вероятность, что и событие

поскольку в (8.9) можно заменить на на не изменяя вероятности события. По лемме 8.2 вероятность события равна Поскольку а вероятность того, что за интервал времени поступит в точности требований, равна применяя формулу полной вероятности, получим

что и требовалось доказать.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

ЗАМЕЧАНИЯ

Литература по теории массового обслуживания обширна. Прекрасной монографией, в которой дается обзор этой теории с приложениями, является книга Кокса и Смита [1].

Мы также рекомендуем читателю более сложные книги Така-ча [2] и Риордана [3]. Многие результаты по теории массового обслуживания приведены в книге Саати [4]. В ней также имеется большая библиография.

Применения к транспортным задачам и задачам телефонии можно найти в книге Сиски [5].

В монографии Бенеша [6] развиты некоторые специальные математические вопросы теории массового обслуживания.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)