§ 10. ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ И ДВУМЯ ТИПАМИ ЧАСТИЦ

Рассмотрим два различных типа частиц, которые мы будем называть частицами типов 1 и 2 соответственно. Ветвящийся марковский процесс с непрерывным временем будет определяться соответствующими инфинитезимальными параметрами. Именно мы постулируем, что каждая частица типа может в течение интервала независимо от прошлого и независимо от истории или текущего состояния любой другой частицы любого типа превратиться в частиц типа частиц типа 2 с вероятностями

где символ Кронекера. Заметим, что мы снова постулируем однородность по времени для процесса, поскольку постоянные не зависят от времени. Введенные параметры подчиняются следующим ограничениям:

Введем две производящие функции

Пусть — вероятность того, что в момент популяция состоит из объектов типа объектов типа 2 при условии, что в момент 0 было объектов типа объектов типа 2. Поскольку инфинитезимальные параметры не зависят от времени, переходные вероятности с необходимостью стационарны. Определим производящие функции

Тогда аналогично одномерному случаю получим

Фактически соотношение (10.1) можно считать определяющим для ветвящихся процессов с двумя типами частиц и непрерывным временем. Другими словами, можно сказать, что любая переходная функция, удовлетворяющая (10.1), порождает марковский ветвящийся процесс с двумя типами частиц и непрерывным временем. Марковский характер процесса выражается уравнениями Колмогорова — Чэпмена

Из (10.1) и (10.2) следует

Аналогичное соотношение выполняется и для функции Таким образом,

Кроме того,

аналогичное равенство имеет место для Таким образом,

Получим теперь уравнения в частных производных, которым удовлетворяют функции , аналогичные уравнениям (7.10) и (7.13). Для этого положим сначала и подставим (10.4) в (10.3). Используя формулу Тейлора, получаем

Разделив обе части на и положив формально получим дифференциальные уравнения

Обратимся вновь к равенству (10.3) и положим на этот раз Используя (10.4), получаем формулу

Разделив на положив и заменив на получим вторую систему дифференциальных уравнений

Начальные условия для уравнений (10.5) и (10.6) таковы:

С помощью (10.5) и (10.6) можно получить системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют моменты искомых случайных величин. Здесь мы не будем входить в детали этих вычислений.

Дадим теперь несколько применений и примеров ветвящихся процессов с двумя типами частиц и непрерывным временем.

Пример 1. В первом примере рассматривается ветвящийся процесс с иммиграцией. Рассмотрим одномерный ветвящийся процесс с непрерывным временем и обобщим его, допустив, кроме ветвления, миграцию частиц в систему. Напомним, что

— вероятность того, что какая-либо частица превратится в частиц за малый интервал независимо от предыстории процесса. Включим процесс иммиграции в популяцию следующим образом. Пусть

— вероятность того, что (независимо от предыстории процесса) частиц того же типа добавятся к популяции за временной интервал Заметим, что параметры так же, как и параметры по предположению не зависят от времени; иначе говоря, соответствующие переходные вероятности стационарны. Величины подчиняются условиям

Пусть

и пусть

Наша цель — найти вероятности или — если это невозможно — получить некоторые их свойства.

Введем производящие функции

Можно представить одномерный ветвящийся процесс с непрерывным временем и иммиграцией в виде ветвящегося процесса с двумя типами частиц.

Идея, лежащая в основе упомянутого представления, заключается в следующем. Имеются два типа частиц: частицы типа 1 — реальные, в то время как частицы типа 2 — фиктивные. Реальная частица по окончании своего времени жизни (которое является экспоненциально распределенной случайной величиной с параметром порождает новых реальных частиц с вероятностью Фиктивная частица также живет случайный отрезок времени (экспоненциально распределенный с параметром конце его порождает I реальных частиц и одну фиктивную с вероятностью Заметим, что 1- Потомство фиктивных частиц соответствует иммиграции. Таким образом,

Тогда в соответствии с обозначениями, введенными в начале этого параграфа, имеем

Таким образом,

В рассматриваемом частном случае дифференциальное уравнение (10.5) принимает вид

а дифференциальное уравнение (10.6) —

Установим теперь соответствие между вероятностями введенными для процесса с двумя типами частиц, и вероятностями, определяемыми соотношением (10.7). В соответствии с введенными обозначениями начальное состояние для процесса с двумя типами частиц означает, что в момент 0 реальные частицы отсутствуют, а имеется лишь фиктивная частица — «потенциальные иммигранты», В силу определения очевидно, что

и, следовательно,

Тогда из (10.9) получаем

где вместо мы написали Начальное условие имеет вид

Вместо того чтобы решать это дифференциальное уравнение, решим систему уравнений (10.10) и (10.11), что легче. Уравнение (10.10) можно рассмотреть методами, примененными для анализа уравнения (7.13). Решение уравнения (10.10) можно представить в виде, аналогичном (9.6). Обозначим его через здесь вместо записано сокращенно В силу (10.12) уравнение (10.11) принимает вид

с начальным условием (10.14). Решение уравнения (10.15) равно

Пример 2. В заключение параграфа опишем простой немарковский одномерный ветвящийся процесс (бинарного деления) с непрерывным временем, который можно свести к марковскому

ветвящемуся прецессу с двумя типами частиц. Предположим, что частица имеет распределение времени жизни с плотностью

(гамма-распределение порядка 2). По истечении времени жизни частица заменяется на две частицы такого же типа, каждая из которых независима от другой и исходной частицы и имеет плотность (10.16) времени жизни.

Марковские процессы в общем случае характеризуются тем свойством, что время пребывания в любом состоянии распределено экспоненциально. В данной главе время пребывания в данном состоянии определяется временем жизни частицы. Если оно распределено экспоненциально, то процесс роста популяции этих частиц является марковским. В рассматриваемом случае время жизни распределено не по экспоненте, а по свертке двух экспонент.

Пусть число частиц в момент предположим, что Поскольку (10.16) — плотность суммы двух независимых экспоненциально (с параметром X) распределенных д. с. в., можно считать, что каждая частица как бы проходит две фазы развития, каждая из которых имеет экспоненциально распределенную с параметром X длительность. Такой процесс нетрудно свести к марковскому ветвящемуся процессу с двумя типами частиц. Вместо того чтобы говорить о двух фазах жизни одной и той же частицы, будем говорить о двух типах частиц. Частица типа 1 имеет экспоненциально распределенное с параметром X время жизни и по окончании его превращается в частицу типа 2. Частица типа 2 имеет экспоненциально распределенное с параметром X время жизни и по окончании его превращается в две частицы типа 1. Таким образом, в обозначениях данного параграфа имеем

где для простоты предполагается, что Тогда

и

Соотношения (10.5) и (10.6) примут соответствующий частный вид. Производящая функция величины при условии может быть получена из при