Глава 6. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ СУММ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН КАК МАРКОВСКАЯ ЦЕПЬ

§ 1. СВОЙСТВА ВОЗВРАТНОСТИ СУММ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Пусть последовательность целочисленных независимых одинаково распределенных случайных величин. Положим Для полноты будем считать, что

В этой главе мы остановимся на некоторых свойствах сумм независимых случайных величин. Сами суммы мы будем рассматривать как последовательные значения марковской цепи специальной структуры с дискретным пространством состояний. В пределах нашего элементарного изложения мы лишь поверхностно коснемся теории сумм независимых случайных величин. Полное и элегантное изложение этой богатой и красивой теории читатель найдет в книге Спицера [1].

В примере А § 1 гл. 2 мы упоминали о последовательности были неотрицательными целочисленными случайными величинами) как о примере марковской цепи. В этой главе пространство состояний соответствующей марковской цепи состоит из всех целых чисел: положительных, отрицательных и нуля. Так как мы положили начальным состоянием является нуль. Характерной чертой марковской цепи является пространственная однородность, т. е. ее одношаговые переходные вероятности обладают следующим свойством: Простой индукцией легко убедиться, что этим же свойством обладают -шаговые переходные вероятности:

В этой главе мы будем предполагать, что случайная величина «неприводима». Под этим подразумевается, что марковская цепь с матрицей переходных вероятностей неприводима. Ниже мы дадим простой критерий неприводимости для рассматриваемого случая.

Условимся с самого начала, чтобы не повторять это каждый раз, что с. в. является невырожденной, т. е. она может принимать по крайней мере два значения с положительными вероятностями.

Перейдем теперь к условиям возвратности и невозвратности марковской цепи, порожденной последовательностью Для

того чтобы получить эти условия, введем следующие величины:

определенные для всех Величина является аналогом функции Грина и связана с элементами теории потенциала, о которой мы упоминали в гл. 5.

Лемма 1.1.

для всех целых чисел частности,

для всех целых чисел

Доказательство. В силу пространственной однородности процесса Поэтому достаточно показать, что при всех Но

где есть вероятность достичь 0 из в первый раз на шаге.

Так как

Изящный и полезный критерий возвратности составляет содержание следующей теоремы.

Теорема 1.1. Если

то марковская цепь является возвратной.

Замечание. Поскольку — невырожденная случайная величина, то она принимает как положительные, так и отрицательные значения с положительными вероятностями. Условие неприводимости гарантирует, что марковская цепь, порождаемая последовательностью неприводима (состоит из одного класса). Пространство состояний цепи состоит из

всех целых чисел: положительных, отрицательных и нуля. Наконец, в соответствии со следствием 5 гл. 2 для доказательства возвратности рассматриваемой цепи достаточно установить возвратность хотя бы одного (скажем, нулевого) состояния.

Доказательство. В силу леммы при всех целых Это неравенство сохраняется и при осреднении:

Но

последнее неравенство имеет место просто потому, что Сравнив (1.5) и (1.6), мы видим, что

Далее, по определению

Поскольку представляет собой сумму независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным средним можно применить закон больших чисел (см. § 1 гл. 1, стр. 20), согласно которому для любого

Из (1.8) находим

(Здесь обозначает наибольшее целое число, не превышающее поэтому Предельное соотношение (1.9) можно представить в следующем эквивалентном ему виде:

Положим теперь в где Тогда

Из (1.10) следует, что

Кроме того,

Из (1.11) и (1.12) заключаем, что

Так как может быть выбрано сколь угодно малым, то из последнего соотношения следует, что

Наконец, обращаясь к теореме 5.1 гл. 2, вспоминаем, что равенство эквивалентно утверждению, что нулевое состояние возвратно.

Отметим, что мы не использовали всей силы предположения о том, что имеет конечное среднее значение. Нам понадобился лишь слабый закон больших чисел, выполнение которого в форме соотношения (1.9) достаточно для справедливости утверждения теоремы.

В следующей теореме, являющейся частичным обращением теоремы 1.1, существование конечного среднего играет более важную роль.

Теорема 1.2. Если

и

то марковская цепь является невозвратной.

Доказательство. Пусть А обозначает событие Воспроизведем известный нам критерий возвратности (см. теорему 7.1 гл. 2) в форме

Усиленный закон больших чисел утверждает, что

Поскольку рассмотрим события

Пусть С — событие, состоящее в том, что наступает при бесконечно многих Мы найдем вероятность Всякая реализация процесса, для которой очевидно, не может принадлежать событию С. Но, согласно (1.15), реализации процесса, для которых имеют вероятность 1. Следовательно, вероятность события, дополнительного к С, равна 1, или происходит при бесконечно многих Ясно, что наступление события влечет наступление события т. е. Поэтому

Принимая во внимание критерий (1.14), заключаем, что марковская цепь невозвратна.