§ 2. СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОДЯЩЕЙ ФУНКЦИИ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ВЕТВЯЩИЙСЯ ПРОЦЕСС
Получим некоторые соотношения для производящих функций распределений величин 
Предположим, что исходная популяция состоит из одного индивидуума, т. е. 
Очевидно, для любого 
можно записать
где 
- независимые одинаково распределенные случайные величины с распределением
Введем производящие функции
и
Ясно, что
Далее,
Поскольку 
независимые одинаково распределенные случайные величины с общей производящей функцией 
сумма 
имеет производящую функцию 
! Таким образом,
Но правая часть этого равенства равна производящей функции 
с аргументом 
Таким образом,
Итерируя это соотношение, получаем
По индукции получаем, что для любого 
в частности, при 
Если вместо условия 
рассмотреть более общее условие 
где 
любое постоянное число, то
потому что
Равенство
сохраняется, но соотношение (2.3) не выполняется.
С помощью (2.2) можно теперь вычислить математическое ожидание и дисперсию величины 
Далее всюду будет предполагаться (если не оговорено противное), что 
Предположим, что
существуют и конечны.
Очевидно, 
Дифференцируя (2.2) и полагая 
получаем (поскольку 
), что 
или по индукции
По индукции получаем
Но 
Таким образом,
Чтобы найти 
заметим сначала, что
и отсюда
Дифференцируя (2.3) дважды и полагая 
получаем
Поскольку 
имеем
где 
По индукции 
Таким образом,
Если 
Мы получили формулы 
и
Таким образом, дисперсия увеличивается (уменьшается) со скоростью прогрессии, если 
и изменяется линейно, если 
Такое поведение лежит в основе многих результатов для ветвящихся процессов.
