§ 5. ПРИМЕРЫ

(а) Симметричное случайное блуждание с отражающим экраном. Для того чтобы подвести вычисления, проведенные в § 4, под общую схему, основывающуюся на ортогональных полиномах, достаточно положить

Полиномы ортогональны на отрезке по отношению к распределению где так как

в чем убеждаемся заменой переменной

(б) Еще один процесс случайного блуждания с отражающим экраном. Рассмотрим случайное блуждание во множестве неотрицательных целых чисел матрицей переходных вероятностей вида

где

Умножая обе части тождества (4.1) на получаем

Таким образом, полиномы

удовлетворяют системе уравнений (4.9), соответствующей рассматриваемой матрице за исключением уравнения для Здесь мы имеем тогда как нам нужны начальные условия

Чтобы исправить положение, начнем с тождества

Умножив обе его части на и разделив на перепишем (5.2) в виде

Пусть

тогда

и при этом

Пусть

Отметим, что тогда как

причем является полиномом 6-й степени. Наконец, положим тогда и

так как удовлетворяют одним и тем же соотношениям. Таким образом, полиномы отвечают матрице переходных вероятностей

Детальная процедура нахождения распределения ортогонализирующего полиномы на отрезке нами не рассматривается. Мы просто приведем соответствующее распределение, оставив читателю проверить, что оно обладает всеми нужными свойствами.

Если то постоянна вне а в самом интервале

Если сохраняет свой вид внутри отрезка в точках появляются скачки величины Константа С служит в качестве нормирующего множителя, обеспечивающего равенство единице интеграла .

(в) Случайное блуждание с поглощающим экраном. В качестве следующего примера мы рассмотрим процесс случайного блуждания по целым числам с вероятностью перехода в одно из соседних состояний из состояния равной и с поглощающим экраном, расположенным в состоянии — 1. Матрица переходных вероятностей этого процесса имеет вид

Хотя эта матрица и отличается от тех, для которых был развит общий метод, мы будем следовать, по существу, процедуре, изложенной в § 4.

Ключевым в нашем анализе будет тождество

Так как строка матрицы состоит из элементов

соотношение (5.3) можно записать для в виде

Умножая обе части на и подставляя

в правую часть получающегося соотношения, имеем

Повторив эти действия раз, приходим к формуле

Умножим обе ее части на и проинтегрируем по 0 на отрезке

Легко показать, используя элементарные тригонометрические тождества, что

Из (5.4) и (5.5) следует, что вероятности перехода за шагов выражаются формулой

До сих пор все, что мы сделали, — это получили применение об щего метода к матрице

получаемой вычеркиванием первой строки и первого столбца из матрицы

Возможность такого сведения при вычислении вероятностей перехода за шагов для основывается на том факте, что нам нет необходимости рассматривать те траектории, которые ведут в состояние —1, так как эти траектории не могут выйти из него.

Ортогональные полиномы в рассматриваемом случае таковы:

где как это легко проверить, полиномы ортогональны по отношению к на интервале

Как приложение полученного результата вычислим вероятность события, состоящего в том, что поглощение состоянием —1 произойдет точно на шаге, если исходным состоянием было состояние Поглощение состоянием —1 на шаге может произойти, очевидно, только в том случае, если на шаге процесс пребывал в состоянии 0. Но вероятность попасть в состояние 0 на шаге, отправляясь из состояния задается формулой (5.6), т. е.

а вероятность Следовательно, вероятность поглощения состоянием —1 на шаге при начальном состоянии есть