§ 4. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ МУТАЦИИ И РОСТА

Часто в микробиологических популяциях, первоначально однородных, один или более индивидуумов изменяются в мутантную форму и затем эта форма размножается. Мутация может соответствовать, например, иммунитету от вируса, который сохраняется в потомстве, или в общем случае некоторому свойству, отличающему мутантную форму от исходной (от индивидуумов «дикого типа»). Исследуем теперь модель, описывающую случайные флуктуации мутантного роста. Предположим, что материнская, или родительская колония состоит в момент из индивидуумов и растет детерминированным образом так, что ее размер в момент равен Далее, предположим, что каждый индивидуум дикого типа с вероятностью изменяется в мутантную форму за отрезок времени Поскольку родительская популяция в момент имеет размер а индивидуумы развиваются независимо, вероятность образования некоторого мутанта на отрезке равна

Кроме того, мы постулируем, что вероятность двух или более мутаций на отрезке есть Из приведенной формулировки

следует, что число индивидуумов мутантного вида, как функция времени, описывается неоднородным пуассоновским процессом с функцией интенсивности задачу 12 гл. 7).

Используя решение задач 12 и 13 гл. 7, можно показать, что вероятностная производящая функция числа событий, произошедших за отрезок времени для неоднородного пуассоновского процесса с параметром равна

где

Таким образом, в нашем частном случае выполняется равенство

Предположим теперь, что каждый мутант порождает свой собственный процесс роста, и пусть вероятностная производящая функция числа потомков одного мутанта спустя время после его возникновения. В данной модели мы предположим, что в мутантной популяции не происходит гибели, т. е.

Пусть вероятностная производящая функция числа мутантов в момент при условии, что родительская колония состояла из индивидуумов в момент и в этот момент в ней не было ни одного мутантного индивидуума. Наша цель — найти через и параметры которые в рассматриваемой задаче считаются известными. Для этого введем вероятности

момент существует ровно потомков одного мутантного индивидуума, возникшего в момент ; в момент существует ровно мутантов при условии, что родительская популяция в момент имела размер и не содержала ни одного мутанта.

В таком случае

поскольку по предположению и

Из (4.1) следует, что

где функция распределения момента рождения первого мутанта при исходной популяции, состоящей из индивидуумов. Ее плотность равна

Событие, состоящее в том, что в момент имеется ровно мутантных индивидуумов произойдет, если первая мутация случится в момент и появившийся мутант и родительская популяция (в данном случае размера вместе породят мутантов за оставшееся время Вероятность того, что до момента не произойдет ни одной мутации, равна . В интервале мутация произойдет с вероятностью Наконец, вероятность того, что мутантный организм и родительская колония размера породят в точности мутантов за время равна

(напомним, что ). Но момент может быть любым между поэтому в силу формулы полной вероятности получаем

Теперь можно записать соответствующую производящую функцию. Получим формулу

где мы использовали гипотезу В силу (4.2) и (4.3) это соотношение можно переписать в более простом виде

Это интегральное уравнение относительно довольно сложное. Однако его можно решить, используя следующий прием. Пусть число мутантов в момент при условии, что в момент родительская популяция состоит из индивидуумов. Поскольку мутации происходят в соответствии с неоднородным пуассоновским процессом и индивидуумы развиваются независимо, отсюда следует, что величина удовлетворяет функциональному уравнению

В силу независимости и определения

заключаем, что

для всех неотрицательных целых чисел Отсюда, очевидно, следует, что

т. е.

где . Нам осталось найти функцию Для этого подставим формулу (4.7) в (4.5) и разделим обе части на

Равенство (4.8) справедливо лишь при неотрицательных целых Однако мы будем оперировать с ним, как если бы оно было справедливым при всех (Это можно сделать, соответствующим образом изменяя Мы не будем входить в детали данного вопроса, который является достаточно тонким.)

Положим теперь в (4.8), тогда правая часть устремится к пределу

В левой части имеем

Следовательно, формально получается

и функция определяется равенством (4.7).

Чтобы найти среднее число мутантов в момент положим

равно среднему числу потомков одного мутанта спустя время после его рождения. Из (4.7) и (4.10) имеем

но

поскольку

Из (4.9) и (4.10)

Следовательно,

Если для не слишком больших можно приближенно записать

то из (4.11) следует, что