§ 3. МОДЕЛЬ СЧЕТЧИКА

Интересным применением пуассоиовского процесса является следующая задача. Электрические импульсы случайной амплитуды поступают в случайные моменты времени (образуя пуассоновский поток) на детектор, реакция которого на каждый отдельный импульс в момент выражается функцией

То есть в момент подачи импульса значение выходного сигнала равно амплитуде подаваемого импульса, а затем оно убывает по экспоненциальному закону. Детектор является линейным (т. е.

аддитивным). Так, если за интервал поступит импульсов, то значение выхода в момент равно

Типичная реализация этого процесса имеет вид, показанный на рис. 1. Мы хотели бы знать функцию распределения для каждого или, что эквивалентно, ее характеристическую функцию

Рис. 1.

Предположим, что независимые и одинаково распределенные случайные величины с плотностью и характеристической функцией

Положим

Конечно, где — интенсивность пуассоновского потока, задающего моменты поступления импульсов. Из теоремы 2,3 известно, что распределены, как упорядоченные наблюдения из равномерного распределения на при условии, что (т. е. на интервале поступило импульсов). Пусть независимые одинаково распределенные на случайные величины, упорядочение которых по принимаемым значениям приводит к величинам

Далее, пусть независимые случайные величины, распределения которых совпадают с распределением и которые также не зависят от Рассмотрим сумму

Определим новые случайные величины следующими равенствами:

Неопределенность, которая возникает в случае равенства некоторых из величин не причиняет беспокойства, поскольку вероятность этого события равна нулю. Тогда

поскольку эти две суммы отличаются лишь порядком слагаемых. Далее, так как случайные величины являются независимыми, одинаково распределенными и также не зависящими от то легко проверить, что и -независимые случайные величины, их функция распределения совпадает с общей функцией распределения величин и они также не зависят от Будучи независимыми от семейства очевидно, не зависят от

Поскольку обладают всеми свойствами величин можно записать

Положим

Очевидно, при фиксированном независимы и одинаково распределены. Определим теперь характеристическую функцию величины

где плотность величины Поскольку та равномерно распределена на и и независимы, то у

где функция распределения, соответствующая плотности Дифференцируя (3.2), получаем

Следовательно,

Отсюда если плотность распределения то

(в силу независимости величин при фиксированном )

Дифференцируя по можно вычислить моменты Например,