§ 5. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ РОСТ ОДНОМЕРНОЙ ПОПУЛЯЦИИ

Другой пример экспоненциального роста популяций дает описываемая ниже модель. Ядерные частицы расположены на бесконечной прямой. При их расщеплении «потомки» рассеиваются в соответствии с некоторым вероятностным законом. Более определенно, предположим, что «потомок» частицы, расположенной в точке х, будет находиться в точке х + у с плотностью вероятности

Заметим, что зависит только от расстояния у между «родительской» частицей и «потомком» и не зависит от местонахождения «родительской» частицы. Для простоты предположим сначала, что каждая частица делится в точности на две новые. Если в момент 0 имеется одна частица в точке то ее «потомство» назовем первым поколением; «потомство» первого поколения образует второе поколение и т. д.

Введем случайную величину , равную числу частиц поколения, расположенных на полуинтервале если нулевое поколение состояло из одной частицы, расположенной в точке Положим

Предположим, что мы поместили исходную частицу в точку . Пусть - число частиц поколения, расположенных в при условии, что нулевое поколение состояло из одной частицы, расположенной в точке и. В силу пространственной однородности закона распределения разброса потомков интуитивно ясно, что

Формальное доказательство этого читателю предлагается провести самостоятельно.

Введем производящую функцию

и среднее

где штрихом обозначена производная по s.

Событие, заключающееся в том, что в поколении на полуинтервале будет в точности частиц, произойдет, если два «потомка» исходной частицы, расположенной в точке будут локализованы в интервалах (и, и и ( соответственно, где — и каждая из новых частиц будет иметь через поколений в такое число «потомков», что в сумме они составят Вероятность того, что две частицы первого поколения будут расположены в интервалах соответственно, равна

Вероятность того, что эти две частицы через поколений дадут в сумме «потомков», находящихся в полуинтервале равна

(см. (5.1)). Далее, величины и и могут принимать любые значения на действительной прямой независимо друг от друга. Следовательно,

Переходя к производящей функции, находим:

Если в качестве обобщения предположить, что каждая частица порождает новых частиц, где целое число, то вместо (5.4) получим формулу

Если в качестве дальнейшего обобщения предположить, что каждая частица порождает новых частиц с вероятностью то точно таким же образом получим формулу

где

есть производящая функция числа новых частиц, производимых при каждом расщеплении.

Математическое ожидание числа частиц в поколении можно найти обычным путем:

Из (5.1) следует, что

и

есть среднее число новых частиц, производимых при каждом расщеплении. Формула (5.5) приобретает вид

Это рекуррентное соотношение можно легко решить. Будем рассматривать исходную частицу, находящуюся в точке как нулевое поколение; тогда, очевидно,

Из (5.6) получаем

где есть функция распределения, соответствующая плотности Далее,

где - двукратная свертка функции По индукции с очевидностью получаем

где есть -кратная свертка функции

Если плотность имеет дисперсию и среднее то в силу центральной предельной теоремы

где — стандартная нормальная функция распределения, т. е.

Отсюда получаем асимптотическую формулу для а именно

которая представляет некоторый самостоятельный интерес.