Глава 5. ТЕОРЕМЫ ОБ ОТНОШЕНИЯХ ПЕРЕХОДНЫХ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 1. ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА С ЗАПРЕЩЕНИЕМ

В возвратной нулевой неприводимой марковской цепи среднее переходных вероятностей — стремится к нулю при стремлении Но и при этом возвращение в любое данное состояние происходит с достоверностью. Другими словами, относительная частота посещений любого данного состояния стремится к нулю с ростом времени, но тем не менее процесс находится в каждом состоянии бесконечное число раз с вероятностью 1. Имеет смысл рассмотреть число пребываний в данном состоянии в отношении к числу пребываний в некотором другом состоянии при бесконечном возрастании числа переходов. Для этой цели полезно ввести «вероятности перехода с запрещением»:

Здесь в правой части стоит событие, состоящее в том, что процесс перейдет из состояния в состояние за шагов, ни разу не попав при переходе в состояние к. Состояние в этом смысле называют запрещенным. Аналогично при определим

вероятность того, что процесс, исходя из состояния на шаге впервые достигнет состояния не попав при переходе в состояние Для удобства положим при к

и

Далее, при имеет место следующая важная формула:

основывающаяся на разложении события, состоящего в первом достижении состояния из состояния на шаге, на несовместных событий, состоящих в возвращении в состояние на шаге при запрещенном состоянии и последующем первом достижении состояния за шагов при запрещенном состоянии

При выводе (1.1) ключевую роль играет классификация траекторий по последнему моменту нахождения процесса в состоянии предшествующему моменту Упомянем здесь, что при выводе формулы (5.1) гл. 2 траектории подразделялись но моменту первого наступления этого события.

Вообще соотношения, связанные с запрещенными состояниями, чаще всего устанавливаются с помощью рассмотрения первого или последнего появления некоторого события. Эта двойственность между первым и последним играет важную роль во многих разделах теории вероятностей. Наиболее яркой иллюстрацией этого служит теория сумм независимых одинаково распределенных случайных величин, где имеет место полная эквивалентность между понятием первого и понятием последнего момента.

Соотношение (1.1) можно заменить эквивалентным ему уравнением для производящих функций. Последнее можно вывести методом, аналогичным примененному нами при выводе соотношения (5.10) из соотношения (5.9). Итак, сначала определим производящие функции:

Затем, так как соотношение (1.1) является сверткой, при мы получаем

Поскольку

в силу части (а) леммы Абеля (лемма 5.1 гл. 2) имеют место следующие соотношения:

Если состояния сообщаются, то существует такое целое число что , и тогда в силу (1.1)

Последнее неравенство позволяет утверждать, что

а следовательно, и

Наконец, в силу части (б) леммы Абеля имеем