10. КАНОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

10.1. Введение

В этой главе рассматривается аппроксимация одного стационарного временного ряда другим, прошедшим через фильтр, ранг которого меньше размерности фильтруемого ряда. А именно, пусть есть -мерный, a Y -мерный стационарные ряды, так что

, является рядом размерности

Предположим, что мы заинтересованы в превращении ряда в -мерную вектор-функцию, например, вида

    (10.1.2)

, где — некоторый - матричный фильтр. Допустим, что в итоге мы хотим получить такой -мерный ряд

    (10.1.3)

который мало отличался бы от за счет удачного выбора вектора -фильтра и фильтра Если ряд совпадает с , то приходим к задаче, обсуждавшейся в предыдущей главе, для решения которой матрицу спектральной плотности изучали с помощью главных компонент. Если , то фактически не требуется никакого уменьшения размерности, и тогда имеем дело со схемой множественной регрессии, обсуждавшейся в гл. 8.

Связывающее ряды соотношение линейно и инвариантно во времени, его передаточная функция —

    (10.1.4)

где - передаточные функции фильтров соответственно. Подчеркнем, что при указанных вначале ограничениях

ранг матрицы не превосходит q. С другой стороны, если известно, что ранг матрицы меньше либо равен q, то можно найти такую -матрицу и -матрицу что выполняется соотношение (10.1.4). Итак, поставленная задача заключается в аппроксимации рядом пропущенным через фильтр, ранг которого не превосходит .

В следующем параграфе рассмотрим аналогичную задачу не для рядов, а для векторных случайных величин. Основной библиографический источник в этой главе — Brillinger (1969d).