6.5. Математические ожидания оценок передаточной функции и спектра ошибок

Вернемся снова к изучению средних значений оценок несколько более общего вида, чем в предыдущем параграфе. Допустим, что нас интересуют оценки параметров модели (6.1.1) с данными значениями . Пусть задается выражением (6.3.8), аналогично которому определяются Мы построим наши оценки с помощью этих статистик так же, как в (6.3.10); можно, однако, сделать наши оценки более гибкими введением для членов выражения (6.3.10) некоторых весов. Более точно, для весовой функции W (а) будем считать выполненным

Условие 6.5.1. Функция ограничена, четна, неотрицательна и равна нулю для причем

    (6.5.1)

Существенными ограничениями на введенную здесь функцию являются, кроме условий 5.6.1, условия неотрицательности и конечности функции.

Чтобы подчеркнуть тот факт, что весовая функция становится более сконцентрированной при возрастании объема выборки Т к введем параметр эффективной ширины зависящий от Т. Кроме того, периодически продолжим весовую функцию с той целью, чтобы наша оценка обладала необходимыми свойствами симметрии. Таким образом, мы определим функцию

    (6.5.2)

Мы видим, что (а) неотрицательна и

    (6.5.3)

причем если при то для достаточно больших Т

    (6.5.4)

Масса концентрируется в интервале длины с центром в точке при

Теперь определим

    (6.5.5)

В качестве оценок для возьмем

    (6.5.8)

и

    (6.5.10)

соответственно. Если m велико, то определения (6.5.9) и (6.4.5) по существу совпадают.

Из ограничений на весовую функцию W (а) видно, что

    (6.5.11)

Точно так же имеют период и, кроме того, неотрицательная функция, симметричная относительно 0. Наконец, принимает действительные значения как величина, соответствующая изучаемому параметру

В дальнейшем нам встретится статистика задаваемая выражением

    (6.5.12)

имеющим, как это видно, форму множественного коэффициента корреляции, ограниченного 0 и 1. Появляться эта статистика будет главным образом при вычислении дисперсий наших оценок.

Относительно последовательности фиксированных (в противоположность случайным) значений мы введем одно важное

Условие 6.5.2. Значения , ограничены в совокупности, причем если задано выражением (6.5.5), то существует такое конечное К, что

    (6.5.13)

для всех к и достаточно больших Т.

Вернемся к изучению свойств при больших выборках. Верна

Теорема 6.5.1. Пусть удовлетворяет условию 2.6.2 (I), а удовлетворяет условию 6.5.2. Пусть задан выражением (6.1.1), в котором для выполнено условие Пусть также W (а) удовлетворяет условию 6.5.1 и задается выражением (6.5.8). Тогда выполнено

    (6.5.14)

где остаточные; члены равномерны по к.

Мы видим, что математическое ожидание является по существу (матричным) взвешенным средним функции с весом, сконцентрированным в окрестности точки к ширины Поскольку это взвешенное среднее представляет собой матрицу, возникают трудности с различными элементами А (а). Если мы желаем уменьшить асимптотическое смещение, то должны пытаться расположить около константы в окрестности к.

Веса в выражении (6.5.14) зависят от

Было бы выгодным сделать насколько это возможно, близким к константе, так чтобы недиагональные элементы были близки к 0. Последнее выражение в (6.5.14) показывает, что главный член асимптотического смещения имеет порядок эффективной ширины Мы имеем

Следствие 6.5.1. Если выполнены условия теоремы 6.5.1 и при то является асимптотически несмещенной оценкой

Обозначим элементы соответственно как . Иногда мы будем интересоваться действительной амплитудой

    (6.5.15)

и действительной фазой

    (6.5.16)

Они могут быть оценены с помощью

    (6.5.17)

и

    (6.5.18)

Теорема 6.5.2. Предположим, что выполнены условия теоремы 6.5.1. Тогда

    (6.5.19)

причем, если , то

    (6.5.20)

(В этой теореме E обозначает математическое ожидание, получаемое в виде члена разложения Тейлора, см. Brillinger, Tukey (1964).

Следствие 6.5.2. Если выполнены условия теоремы 6.5.2 и при является асимптотически несмещенной оценкой

Что касается нашей оценки спектра ошибок, то мы имеем следующую теорему.

Теорема 6.5.3. Если выполняются предположения теоремы 6.5.1, то

    (6.5.22)

Полезно сравнить этот результат с выражением (5.8.22) в случае . В пределе мы получим

Следствие 6.5.3. Если выполнены условия теоремы 6.5.3 и ВТ при является асимптотически несмещенной оценкой .

Для случая мы можем доказать следующую теорему. Теорема 6.5.4. В условиях теоремы 6.5.1

    (6.5.23)

Из теоремы 6.5.4 вытекает

Следствие 6.5.4. Если выполнены предположения теоремы 6.5.1 и при то является асимптотически несмещенной оценкой