К главе 10

Доказательство теоремы 10.2.1. Пусть Перепишем. (10.2.5):

Согласно теореме 3.7.4, это выражение минимально, если

или

Значение минимума, как легко видеть, совпадает с указанным.

Доказательство теоремы, 10.2.2. Пусть сначала матрица Е фиксирована. Тогда теорема 10.2.1 показывает, что минимум рассматриваемой функции и D равен

Положим Тогда запишем

Далее соответствующие собственные значения будут максимальны, если взять столбцы матрицы U, равными первым q собственным векторам матрицы см. Bellman (1960), стр. 117. Отсюда сразу же следует утверждение теоремы.

Доказательство теоремы 10.2.3 проводится так же, как приведенное ниже доказательство теоремы 10.2.6.

Доказательство теоремы 10.2.4 вполне аналогично рассмотренному доказательству теоремы 10.2.1.

Доказательство теоремы 10.2.5 не отличается по существу от доказательства теоремы 10.2.2.

Доказательство теоремы 10.2.6 Пусть величины определяются по аналогии. Рассуждения, приведенные в Wilkinson (1965, стр. 68), или Dempster (1966), показывают, что справедливы разложения

где

и

Используя выражения, полученные при доказательстве теоремы 9.2.4, мы видим, что

если и в противном случае равно нулю. Аналогично при в противном случае. Далее

если

Выписанные ранее разложения и эти выражения для моментов позволяют получить требуемые формулы для асимптотических моментов первого и второго порядка. Асимптотическая нормальность оказывается следствием асимптотической нормальности величин и свойства, вытекающего из теоремы собственные значения и собственные векторы являются дифференцируемыми функциями матриц.

Доказательство теоремы 10.3.1. Выражение (10.3.3) можно записать в виде

Ясно, что следует выбрать так, чтобы Рассмотрим

В силу следствия 3.7.4, выражение (10.3.3) минимизируется указанными в теореме .

Доказательство следствия 10.3.1. Этот результат получим, применив теорему 10.3.1 к преобразованному ряду

заметив, например, что

Доказательство теоремы 10.3.2. Нас интересует когерентность

здесь использованы обозначения

Применив неравенство Шварца, видим, что указанная когерентность не превосходит

для ортогональных , т. е. первым собственным векторам матрицы ; см. упр. 3.10.26. Утверждение теоремы относительно вытекает из (10.3.25), а относительно проверяется непосредственно.

Доказательство теоремы 10.3.3. Так как при всех Я матрица имеет простые собственные значения, то собственные значения и векторы этой матрицы являются действительными голоморфными функциями ее элементов, см. упр. 3.10.19-3.10.21. Поэтому из теоремы 3.8.3 получаются выражения (10.3.28) и (10.3.29). Выражение (10.3.30) выводится из (10.3.26)-(10.3.29).

Доказательство теоремы 10.3.4. Собственные значения матрицы простые при всех Я, поэтому и они, и соответствующие им собственные векторы являются действительными голоморфными функциями матричных элементов, см. упр. 3.10.19-3.10.21. Выражения (10.3.33) и (10.3.34) следуют из теоремы 3.8.3. Тот факт, что спектральная плотность имеет вид (10.3.36) вытекает из теоремы 10.3.1 либо проверяется прямым вычислением.

Доказательство теоремы 10.4.1. Оно проводится так же, как доказательство теоремы 9.4.1. Единственное отличие заключается в том, что используются разложения теории возмущений, фигурирующие в доказательстве теоремы 10.2.6.

Доказательство теоремы 10.4.2. Оно проводится по аналогии с доказательством теоремы 10.2.6 с привлечением тех же разложений.

Доказательство теоремы 10.4.3. Величины являются непрерывными функциями элементов матрицы (10.4.25). Поэтому утверждение вытекает из теоремы 7.3.3 и теоремы Д 5.1.