К главе 4

Прежде чем перейти к доказательству теорем 4.3.1 и 4.3.2, установим ряд лемм.

Лемма . Если удовлетворяет условйю 4.3.1 и если для , то

при некотором конечном К.

Доказательство. Рассматриваемая сумма не превосходит

при некотором конечном L. Для удобства предположим, что (Другие случаи рассматриваются аналогично.) Тогда, продолжая цепочку, неравенств

получаем нужное выражение.

Лемма Кумулянт, о котором идет речь в теоремах 4.3.1 и 4.3.2, дается выражением

где

при некотором конечном К

Доказательство. Кумулянт имеет вид

Применяя лемму приравняем это выражение

где оценивается указанным выше образом.

Лемма При выполнении условия при

Доказательство.

Но при Опираясь на (4.3.6), мы можем теперь применить теорему о мажорированной сходимости и убедиться, кто при

Лемма Д 4.4. При условии (4.3.10) .

Доказательство очевидно.

Доказательство теоремы 4.3.1. Воспользуемся соотношением

утверждение вытекает из лемм

Доказательство теоремы 4.3.2. Оно немедленно следует из лемм Д 4.2 и Д 4.4 и соотношения

так как выполнено условие (4.3.10).

Следующая лемма понадобится нам при доказательстве теоремы 4.4.1.

Лемма Д 4.5. Пусть будет такой последовательностью случайных векторов с комплексными компонентами, что все кумулянты величины сущестёуют и стремятся к кумулянтам величины которая определяется своими моментами. Тогда сходится по распределению к величине, имеющей компоненты

Доказательство. Все сходящиеся подпоследовательности совместных функций распределения стремятся к совместным функциям распределения с заданными моментами. По предположению существует только одна функция совместного распределения с такими моментами, отсюда и вытекает указанный результат.

Доказательство теоремы 4.4.1. Вначале отметим, что

Поэтому ясно, что первый кумулянт величины ведет себя требуемым в теореме образом.

Далее отметим, что в силу теоремы 4.3.1

Выражение в правой части последнего равенства стремится к нулю, если . Если , то оно стремится к Это показывает, что и поведение кумулянтов второго порядка правильно указано в теореме.

Наконец, вновь сославшись на теорему 4.3.1, видим, что

Последнее выражение стремится к 0 при если поскольку ведет себя как

Объединяя все эти результаты, мы видим, что кумулянты рассматриваемых величин, а также сопряженных величин, сходятся к кумулянтам нормального распределения. Заключение теоремы вытекает теперь из предыдущей леммы, так как нормальное распределение определяется своими моментами. Доказательству теоремы 4.4.2 предпошлем лемму.

Лемма Пусть удовлетворяет условию 4.3.1, а и пусть задается формулой (4.3.2). Тогда при некотором конечном К

если

Доказательство. Предположим для удобства, что отлична от нуля только при . Используя упр. 1.7.13, получим

Но и поэтому

согласно лемме, применявшейся при доказательстве теоремы 4.3.2.

Доказательство теоремы 4.4.2. Действуя, как в теореме 4.4.1, получим с помощью лемм Д4.6 и Д4.1

Далее из теоремы 4.3.1 имеем

что, согласно лемме стремится к нулю, если и стремится к

если Теперь

Это выражение стремится к 0 при так как и доказательство завершается так же, как раньше.

Для доказательства теоремы 4.5.1 мы рассмотрим серию лемм. Обозначим

Лемма Пусть выполнены условия теоремы 4.5.1, тогда при заданных и достаточно малом а

Доказательство. Первое из выражений, выписанных при доказательстве леммы показывает, что

где определены в (2.6.7). Тем самым

Выбрав достаточно малое a, получим нужное неравенство. Следствие. При условиях леммы

Лемма Д 4.8. Пусть где целое Тогда

Доказательство. Неравенство следует непосредственно из леммы 2.1 книги Woodroofe,. Van Ness (1967), см. также теорему 7.28 из гл. 10 книги Zygmund (1968).

Лемма Д 4.9. При условиях теоремы 4.5.1

Доказательство. Интересующее нас математяческое ожидание не превосходит

Отсюда и получается доказываемое неравенство, поскольку сумма содержит слагаемых и

Лемма Д 4.10. Зафиксируем и обозначим При выполнении условий теоремы 4.5.1 найдется такое К, что

Доказательство. Эта вероятность не превосходит

а если взять здесь и

то не превосходит

Последнее выражение меньше либо равно при указанном выше выборе а.

Следствие. При выполнении условий теоремы 4.5.1

с вероятностью 1.

Доказательство следует из леммы Бореля — Кантелли [см. Loeve(1963)] ввиду произвольного выбора в лемме Д 4.10.

Доказательство теорецы 4.5.1. Можно сформулировать следствие, аналогичное только что рассмотренному, и для Тогда доказательство вытекает из того, что

Доказательство теоремы 4.5.2 вполне аналогично доказательству теоремы 4.5.3, к которому мы теперь перейдем. Отличие состоит лишь в том, что вместо основного неравенства следующей леммы надо применить такое:

Доказательство теоремы 4.5.3 представим в виде цепочки лемм.

Лемма Д 4.11. Предположим, что функция имеет конечный носитель и производная ее равномерно ограничена. Пусть

Тогда

при некотором М.

Доказательство.

Поэтому

Модуль этого выражения не превосходит

при некотором конечном М (здесь L обозначает константу, ограничивающую производную функции .

Лемма При достаточно малых а можно указать такое число L, что

Доказательство. Из предыдущей леммы получаем, что при малых найдется такое конечное L, что

Лемма Пусть где R — целое число, Тогда существует такая константа N, что

Доказательство. Пусть

Тогда из (4.5.8) вытекает, что при некотором К

Далее можно представить в виде

Первый член этого выражения является тригонометрическим полиномом порядка Поэтому, в силу леммы 2.1 книги Woodroofe,

Отсюда и из последует указанное в лемме неравенство.

Лемма При выполнении условий теоремы 4.5.3

Доказательство. Достаточно применить лемму Д 4.12 и учесть, что берется по конечному множеству из R элементов.

Лемма Пусть выбрано число тогда при выполнении условий теоремы 4.5.3

при некотором конечном К

Доказательство. Положим и

Тогда интересующая нас вероятность не превосходит

Следствие. При условиях теоремы 4.5.3 найдется такая константа К., что

с вероятностью 1.

Доказательство теоремы 4.5.3 следует из теоремы 4.5.1, предыдущего следствия и леммы Д 4.13.

Доказательство теоремы 4.5.4. Согласно упр. 3.10.34(b),

Пусть положительное целое число. По неравенству Гёльдера

при некотором конечном К в силу упр. 3.10.28. Из теоремы 2.3.2 и формулы фигурирующей в доказательстве леммы Д 4.7, следует неравенство

при некотором конечном М. Поэтому найдется такое число N, что

Тем самым

А так как при достаточно больших k, то отсюда вытекает результат теоремы.

Для доказательства теоремы 4.6.1 вначале рассмотрим лемму.

Лемма Д 4.16. Допустим, что ряд удовлетворяет условию 2.6.1. Пусть также

Тогда

Доказательство. Кумулянт можно представить как произведение на интеграл

Указанный в лемме предел получаем, заметив, что

где является периодическим расширением -функции Дирака; см. упр. 2.13.33.

Следствие. Если , то .

Доказательство. Кумулянт является суммой слагаемых вида

и, согласно предыдущей лемме, каждое из них стремится к одному и тому же пределу (с точностью до знака!). Поэтому сумма имеет предел 0.

Следствие, при

Доказательство. Можно записать момент как сумму кумулянтов того же вида, что и в последнем следствии. Каждый из этих кумулянтов стремится к 0, откуда и получается требуемый результат.

Доказательство теоремы 4.6.1. Последнее следствие показывает, что последовательность является последовательностью Коши в любом пространстве Эти пространства полны, поэтому в каждом из них существует предел

Для завершения доказательства заметим, что выражение (4.6.7) получается из леммы Д 4.16.

Доказательство теоремы 4.6.2. Рассмотрим

Тогда

Кроме того,

Отсюда видно, что

Аналогичным образом можно показать, что

Из двух последних равенств выводим, что

и, следовательно, с вероятностью 1

, т.е. получено нужное представление.

Доказательство теоремы 4.7.1. Мы можем записать

Минимум этого выражения, рассматриваемого как функция В, достигается при

Но тогда

Согласно следствию 3.7.4, минимальным этот след окажется, если положить, используя обозначения из доказываемой теоремы,

Тем самым утверждение установлено.