6.4. Вид асимптотического распределения

В этом параграфе найдем асимптотические распределения класса элементарных оценок параметров возникших из эвристических соображений § 6.3. Форма и статистические свойства этих оценок будут зависеть от выполнения условия Выделим три случая:

Случай А: для к выполнено

Случай В: для Я выполнено или четно.

Случай С: для Я выполнено и Т нечетно.

Предположим, что — такое целое число, что близко к . (Позднее мы будем требовать, чтобы при ). Пусть — целое неотрицательное число. Пусть также задается выражением (6.3.8). Определим

и

по аналогии с определениями . Эти оценки основываются на дискретном преобразовании Фурье и поэтому могут быть вычислены с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье.

В качестве оценок возьмем

    (6.4.4)

где — константа, причем

    (6.4.6)

и, таким образом,

    (6.4.7)

дает выражение для оценки Приведем теорему, показывающую поведение математического ожидания в данном случае.

Теорема 6.4.1. Пусть удовлетворяет условию 2.6.1 и имеет среднее 0. Пусть значения ограничены в совокупности, имеет вид (6.1.1), причем выполнено условие Пусть в задающем выражении имеет вид (6.4.1). Тогда вслучае

А имеем

    (6.4.8)

где для конечных К выполняется

    (6.4.9)

Такой же характер носят выражения в случаях В и С.

Заметим, что в выражении (6.4.8) для основной вклад дает матрица взвешенного среднего передаточной функции А (а). Кроме того, из этого выражения следует, что различие со взвешенным средним тем меньше, чем больше . Из теоремы 6.4.1 можно вывести

Следствие 6.4.1. Если в условиях теоремы 6.4.1. норма ограничена при то оценка является асимптотически несмещенной.

Вернемся к исследованию асимптотических распределений.

Теорема 6.4.2. Предположим, что выполнены условия теоремы 6.4.1. Предположим также, что несингулярна для достаточно больших при . Тогда имеет асимптотическое распределение случае А и асимптотическое распределение в случаях В и С. Кроме того, распределение стремится к в случае распределению в случаях . Предельные нормальное и -распределения независимы. Наконец, имеет асимптотическое распределение не зависящее от

В случае из теоремы 6.4.2 следуют приближенные формулы

    (6.4.10)

В случае , как это следует из теоремы, дисперсия приближенно равна .

Для поиска предельных распределений амплитуды и фазы можно использовать

Следствие 6.4.2. В условиях теоремы 6.4.2 значения функций от стремятся по распределению к значениям тех же функций от пределов переменных, указанных в теореме.

Мы будем пользоваться теоремой 6.4.2 и ее следствием в § 6.9 при построении доверительных областей для некоторых параметров. Нередко представляет особый интерес статистика

    (6.4.11)

которая дает представление некоторой меры линейного инвариантного по времени соотношения зависимости между рядами Ее распределение при больших выборках дает

Теорема 6.4.3. Предположим, что выполнены условия теоремы 6.4.1 и пусть статистика задается выражением (6.4.11). Тогда в случае А при

    (6.4.12)

где F — нецентральное -распределение со степенями свободы и параметром нецентральности

Мы вернемся к обсуждению этой статистики в гл. 8. Обозначение введено для члена, стремящегося к 0 с вероятностью 1.