4.5. Оценки, имеющие место с вероятностью 1

Иногда бывает полезно иметь оценки конечного преобразования Фурье

    (4.5.1)

как функции X и объема выборки Т. Отметим следующий результат.

Теорема 4.5.1. Пусть ряд с нулевым средним, принимающий действительные значения, удовлетворяет условию 2.6.3. Пусть также удовлетворяет условию 4.3.1 и задается формулой (4.5.1). Тогда с вероятностью единица

    (4.5.2)

Это означает, что с вероятностью 1 для любого произойдет лишь конечное число событий

    (4.5.3)

Из выражения (4.5.2) видно, что при указанных условиях преобразование имеет порядок роста не более Если значения ограничены постоянной, скажем М, то элементарное неравенство

    (4.5.4)

дает порядок роста не выше чем Т. С другой стороны, если рассматривать для фиксированной частоты, то можно применить закон повторного логарифма; Maruyama (1949), Part-hasarathy (1960), Philipp (1967), Iosifescu (1968), Iosifescu, Theo-dorescu (1969). Закон повторного логарифма приводит к заключению о скорости роста порядка (Т другие результаты типа (4.5.2) можно найти в работах: Salem, Zygmund (1956), Whittle (1959), Kahane (1968).

Из теоремы 4.5.1 немедленно вытекает, что при сформулированных условиях регулярности

    (4.5.5)

с вероятностью 1 при . В частности, полагая полу чаем, что с вероятностью 1 при

    (4.5.6)

т. е. справедлив усиленный закон больших чисел. Подобные результаты содержатся в работе Wiener, Wintner (1941).

Продолжая рассмотрение различных асимптотических результатов, предположим, что -компонентный векторный ряд представляет собой профильтрованный ряд

    (4.5.7)

для некоторого -матричного фильтра . В некоторых случаях будет представлять интерес связь конечного преобразования Фурье ряда с конечным преобразованием Фурье для ряда . Согласно лемме 3.4.1, если ряд ограничен и

    (4.5.8)

то существует постоянная такая, что

    (4.5.9)

где

и

    (4.5.11)

В случае когда является -компонентным стохастическим рядом, справедлива

Теорема 4.5.2. Пусть -компонентный векторный ряд удовлетворяет условию 2.6.3 и имеет нулевое среднее. Пусть задается формулой (4.5.7), где удовлетворяет условию (4.5.8). Тогда существует такая постоянная L, что с вероятностью 1

    (4.5.12)

Выражение (4.5.12) показывает, что порядок возможной скорости роста для

не превосходит . В теореме 4.5.3 продемонстрировано, что эта оценка скорости сходимости может быть доведена до порядка если в преобразование Фурье предварительно ввести множитель сходимости.

Теорема 4.5.3. Пусть -компонентный векторный ряд имеющий нулевое среднее, удовлетворяет условию

2.6.3, и пусть задается формулой (4.5.7), где удовлетворяет условию (4.5.8). Пусть также

где имеет равномерно ограниченную производную и при Тогда существует постоянная такая, что с вероятностью

    (4.5.14)

В случае когда ряд, состоящий из независимых величин, ряд , определяемый формулой (4.5.7), представляет собой линейный процесс. Выражения (4.5.12) и (4.5.14) показывают, как можно изучать выборочные свойства преобразования Фурье линейного процесса с помощью выборочных свойств преобразования Фурье ряда из независимых величин. Такой подход применялся Бартлетом (1966, § 9.2).

В ряде случаев представляют интерес грубые оценки роста когда ряд удовлетворяет более слабому условию 2.6.1.

Теорема 4.5.4. Пусть ряд принимающий действительные значения, имеет нулевое среднее и удовлетворяет условию 2.6.1. Пусть функция удовлетворяет условию 4.3.1 и задается формулой (4.5.1). Тогда для любого

    (4.5.15)

с вероятностью 1 при