3.9. Спектральные представления при функциональном подходе к анализу временных рядов

Как мы уже видели в § 2.7, эффект воздействия линейных инвариантных во времени операций на временные ряды легко описывается, если ряд является суммой гармонических колебаний, например,

    (3.9.1)

где суть -компонентные векторы. В этом параграфе мы рассмотрим представления ряда близкие по своей природе к (3.9.1), но применимые к более широкому классу рядов. Такие представления будем называть спектральными; они имеют вид

    (3.9.2)

Здесь - некоторый -компонентный ряд. Начнем с рассмотрения следующей теоремы.

Теорема 3.9.1. Пусть -компонентная векторная функция X (?), такова, что для существует

    (3.9.3)

Тогда существует предел

    (3.9.4)

Существует также -компонентная векторная функция такая, что

    (3.9.5)

в том смысле, что

    (3.9.6)

Функция удовлетворяет также соотношениям

    (3.9.7)

и

    (3.9.8)

Матрица фигурирующая в (3.9.4), является ограниченной неотрицательно определенной неубывающей функцией от К, и такой, что Можно сравнить ее с матрицей, определенной в упр. 2.13.31.

Выражение (3.9.5) представляет в виде суммы гармоник с различными фазами и амплитудами. Предположим, что - фильтр, коэффициенты которого обращаются в нуль при достаточно больших значениях и пусть - передаточная функция этого фильтра. Тогда если ввести

    (3.9.9)

то профильтрованный ряд будет иметь представление

    (3.9.10)

Гармонические колебания, составляющие , теперь домножаются на передаточную функцию фильтра.

Вариант теоремы 3.9.1 приведен в работах Bass (1962 а, b), однако сама теорема вытекает из теоремы о представлении, предложенном в работе Wold (1948).

Другую форму спектрального представления получил Wiener (1930). Справедлив следующий вариант этой теоремы для векторных рядов с дискретным параметром.

Теорема 3.9.2. Пусть - такая -компонентная функция, что

    (3.9.11)

Тогда существует Компонентная функция такая, что и

    (3.9.12)

Выражение (3.9.12) справедливо в смысле формального интегрирования по частям:

    (3.9.13)

Функция удовлетворяет соотношению

    (3.9.14)

Если также удовлетворяет (3.9.3) и дается формулой (3.9.4),

    (3.9.15)

в точках непрерывности

Теорема Винера [Wiener (1933, стр. 138)] позволяет показать, что соотношение (3.9.11) выполняется, если

    (3.9.16)

Ясно, что выражение (3.9.12) может быть использовано для описания действия линейного фильтра на ряд

Другой способ получения спектрального представления детерминированного ряда основан на применении теории распределений Шварца - [Schwartz (1957, 1959), Edwards (1967, гл. 12)]. В § 4.6 будет получено спектральное представление стохастического ряда. Bertrandias (1960, 1961), как и Heninger (1970), также рассматривал случай детерминированного ряда.