5.13. Упражнения

5.13.1. Пусть — стационарный ряд с нулевым средним, Докажите, что

5.13.2. Докажите, что

другими словами, при равномерном сглаживании по всей области мы получаем значение (Этот результат можно рассматривать в качестве проверки точности вычислений.) Получите аналогичный результат для

5.13.3. Пусть задай действительный стационарный в широком смысле процесс с абсолютно суммируемой автоковариациойной функцией и спектром мощности Покажите, что при этих условиях существует суммируемый фильтр , такой, что ряд имеет постоянный спектр. Указание: в качестве передаточной функции возьмите и воспользуйтесь теоремой 3.8.3.

5.13.4. Докажите, что является в условиях теоремы 5.2.7 при асимптотически равномерной случайной величиной, распределенной на (0, 1).

5.135. Докажите, что в условиях теоремы 5.2.7 статистики являются асимптотически независимыми величинами, распределенными как

5.13.6. Пусть означает меньшую и - большую из двух величин, рассматриваемых в предыдущем упражнении. В условиях предыдущего упражнения докажите, что является приблизительно -процентным доверительным интервалом для . См. обсуждение работы Дурбина в статье Hannan (1967b).

5.13.7. Докажите, что результат теоремы 5.2.6 становится точным, а не асимптотическим, если являются нормальными независимыми величинами с нулевым средним и дисперсией

5.13.8. Пусть при , где А и В конечны. Докажите, что асимптотическое выражение для дисперсии, приведенное в (5.6.13), будет минимальным при для

5.13.9. Докажите, что периодограмма в условиях регулярности является состоятельной оценкой для , если

5.13.10. Пусть заданы ряд со спектром и независимый ряд (0 со спектром ). Пусть для

для Определите приближенные статистические свойства периодограммы

5.13.11. Докажите, что

5.13.12. Покажите, что

5.13.13. Покажите, что

5.13.14. Докажите, что в условиях теоремы 5.6.2

5.13.15. (а) Докажите, что

где задается формулой (5.9.10). Указание: воспользуйтесь выражением (3.2.5).

(Ь) Докажите, что

5.13.16. Покажите, что

5.13.17. Докажите, что если для ряда

выполнено условие 2.6.1, то равномерно по К

Если имеет ограниченную первую производную, то это выражение равно равномерно по X.

5.13.18. Пусть где независимые переменные с распределением . Покажите, что оценка максимального правдоподобия а приблизительно совпадает со значением К, на котором достигается максимум см. Walker (1969).

5.13.19. Пусть действительный ряд со средним 0, удовлетворяющий условию Пусть для W (а) выполнено условие 5.6.1. Если при то

Покажите это.

5.13.20. Пусть задан действительный ряд удовлетворяющий условию 2.6.1. Пусть, далее, . Покажите, что асимптотически не зависит от которая является асимптотически нормальной величиной с нулевым средним и дисперсией

5.13.21. Покажите, что в условиях теоремы асимптотически нормальны и независимы.

5.13.22. Покажите, что математическое ожидание видоизмененной периодограммы (5.3.13) задается выражением

и стремится к для

5.13.23. Докажите, что в условиях теоремы 5.2.6 при

5.13.24. Пусть задается формулой (5.6.1), причем W (Р) ограничена. Допустим, что

Покажите, что

Для некоторого конечного Установите, что мится по вероятности к 0, если

5.13.25. Покажите, что в условиях теоремы 5.4.3 распределение величины

стремится к распределению Стьюдента с степенями свободы. (Этот результат может быть использован для указания приблизительных границ доверительных интервалов для

5.13.26. Пусть действительный ряд, причем Для Предположим, что

Докажите, что существует конечное такое, что

5.13.27. Пусть действительный ряд получен из авторегрессионной схемы

для где — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин со средним 0 и конечным моментом четвертого порядка. Допустим, что корни уравнения

таковы, что Пусть оценки для полученные методом наименьших квадратов и минимизирующие выражение

Покажите, что стремится по распределению к при Этот результат получили Мапп, Wald (1943).

5.13.28. Докажите, что если функция на удовлетворяет для некоторого условию то

5.13.29. Покажите, что для функции заданной формулой выполнено

5.13.30. Пусть помимо условий теоремы 5.2.1 выполняется Покажите, что

5.13.31. Покажите, что в условиях теоремы 5.10.1 величина

асимптотически нормальна, причем

5.13.32. Пользуясь результатом упр. 2.13.31, покажите, что выражение (5.11.20) может быть записано в виде

5.13.33. Покажите, что в обозначениях § 5.11 выполняется неравенство для всех .