5.5. Общий класс спектральных оценок

Спектральные оценки предыдущего параграфа осредняли ординаты периодограмм в окрестности точки равномерным образом. Если близка к константе для а, близких к Я, тогда это, несомненно, правильная процедура, однако, если няется значительно, то, возможно, лучше осреднять ординаты периодограмм с большим весом в непосредственной окрестности точки , чем на некотором расстоянии. Обобщим построение оценки на различные весовые функции.

Пусть — веса, удовлетворяющие условию

    (5.5.1)

Пусть — такое целое число, что близко к рассмотрим оценку

здесь

    (5.5.5)

Для вычисления математического ожидания определим несколько функций. Положим

    (5.5.6)

Пусть также

    (5.5.7)

Из свойств функций следует, что будут весовыми функциями, сконцентрированными в основном в интервале для Функция отличается от тем, что она имеет исчезающе малую массу для . В случае равных весов прямоугольны по форме. В общем случае форма повторяет форму

Приступим к исследованию свойств этой оценки.

Теорема 5.5.1. Пусть , действительный ряд, причем для Предположим также, что

    (5.5.10)

Пусть задается выражениями (5.5.2) — (5.5.4). Тогда

Математическое ожидание оценок (5.5.2) — (5.5.4) отличается от математических ожиданий аналогичных оценок § 5.4 использованием взвешенного среднего спектра мощности . В том случае, когда меняется достаточно сильно в окрестности , мы можем, выбирая должным образом воздействовать на характер взвешенного среднего, в результате чего можно получить оценку со смещением меньшим, чем в § 5.4.

Следствие 5.5.1. Если в дополнение к условиям теоремы предполагать, что и

    (5.5.14)

то

В пределе есть асимптотически несмещенная оценка для

Соотносительно структуры моментов второго порядка справедлива

Теорема 5.5.2. Пусть - действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.2 (1). Пусть задается формулами (5.5.2) -(5.5.4), причем Тдгда, если

    (5.5.16)

и

    (5.5.18)

Очевидно, дисперсия оценки пропорциональна для больших Т. Заметим, что

    (5.5.19)

поэтому минимальна при условии когда

    (5.5.20)

Отсюда следует, что дисперсия величины при больших выборках минимальна, если используются оценки § 5.4. Как следует

из обсуждения теоремы 5.5.1, возможны ситуации, при которых оценка § 5.4 имеет большее смещение по сравнению с оценкой (5.5.2), использующей подходящий выбор

Исследование предельного распределения дает

Теорема 5.5.3. Пусть - действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1. Пусть задается формулами , где когда Предположим, что для Тогда асимптотически независимы и величина асимптотически равна

    (5.5.21)

если

если , причем входящие в разные слагаемые переменные статистически независимы.

Как видно, асимптотическое распределение является взвешенной суммой независимых распределений хи-квадрат. Эту аппроксимацию на практике использовать трудно, однако в стандартных статистических процедурах [Satterthwaite (1941), Box (1954)] переменные аппроксимируются наборами , средние и числа степеней свободы которых можно определить, приравняв первые и вторые моменты. В данном случае мы получим следующие соотношения:

    (5.5.23)

т. е.

    (5.5.25)

и

    (5.5.26)

В случае это опять приводит нас к приближению, предложенному в теореме 5.4.3. Приближение распределения оценок

спектра мощности наборами распределений хи-квадрат предлагал Тьюки (1949). Некоторые другие аппроксимирующие распределения рассматривались в работах: Freiberger, Grenander (1959), Slepian (1958) и Grenander и др. (1959).

В этом параграфе мы получили достаточно гибкую оценку спектра мощности, использующую схему взвешенных ординат периодограмм. Мы рассмотрели асимптотические свойства оценки, включающей взвешенных ординат периодограммы, когда Для некоторых целей такая процедура может предполагать прямую аппроксимацию по большим выборкам, в других случаях имеет смысл предположить, что растет вместе с Т. Эту вторую возможность, позволяющую доказать асимптотическую нормальность и состоятельность оценки, мы рассмотрим в следующем параграфе.

Если поведение функции различно в разных интервалах, то возможно применение различных весов и различных для этих интервалов частот.