5.4. Сглаженная периодограмма

В этом параграфе мы делаем первый серьезный шаг для получения оценки спектра мощности. При обсуждении теоремы 5.2.4 отмечалась неэффективность периодограммы как оценки спектра мощности ввиду того, что дисперсия этой оценки в некоторых вполне приемлемых условиях регулярности асимптотически равна даже при сколь угодно большой длине выборки. Во многих ситуациях мы требуем от используемых нами оценок гораздо большей точности и надеемся, что такие оценки существуют. Теорема 5.2.6 намечает путь построения улучшенной оценки.

Пусть - целое число, такое, что близко к Я. Тогда по теореме прилежащих значений периодограмм асимптотически независимы с распределением если Таким образом, мы имеем асимптотически независимых оценок что приводит нас к оценке вида

    (5.4.1)

если , что есть просто осреднение ординат периодограммы в окреосдости точки К. Дальнейшее исследование теоремы 5.2.6. приводит к рассмотрению оценки

    (5.4.2)

(см. скан)

Рис. 5.4.1. Графики ядра для

если или и Т — четное, и

если и Т — нечетное.

Легко видеть, что оценка имеет те же свойства

Рис. 5.4.2. Графики ядра для

неотрицательности, периодичности и симметрии, что и сама функция Основу этой статистики составляют выражения , которые при достаточно больших Т могут быть вычислены посредством алгоритма быстрого преобразования Фурье. Исследуем кратко статистические свойства последнего выражения.

Для теоремы 5.4.1 нам понадобится ядро Фейера

    (5.4.4)

введенное в § 3.3. Положим

    (5.4.5)

и пусть

    (5.4.6)

Принимая во внимание выведенные в § 3.3 свойства, получим, что являются неотрицательными функциями с периодом интеграл от которых по периоду равен единице. Практически они сосредоточены на интервале для На рис: 5.4.1 график приводится для значений Как видно, эта функция приближенно имеет прямоугольную форму, что можно было ожидать исходя из ее определения (5.4.5). На рис. 5.4.2 график приводится для значений . Здесь также видно, что эта функция имеет приближенно ту же форму, что и , за исключением того, что в непосредственной окрестности нуля она сама близка к нулю.

Математическое ожидание оценки дает

Теорема 5.4.1. Пусть действительный ряд, такой, что для . Предположим, что

    (5.4.7)

Пусть задается выражениями (5.4.1) — (5.4.3). Тогда

Взвешенная сумма интересующего нас спектра мощности с весом, сконцентрированным в полосе шириной с центром в точке ,

является математическим ожиданием величины . В случае математическое ожидание остается взвешенной суммой с весом, сконцентрированным в окрестности точки А, с той разницей, что значения в не посредственной окрестности 0 частично исключаются. Это связано с тем, что нам неизвестно значение . Если m не слишком велико по сравнению с Г и достаточно гладкая, то окажется достаточно близким к в обоих случаях. Сравнение выражений (5.2.6) и (5.4.8) позволяет сделать вывод о том, что смещение как интеграл, взятый по существенно большему промежутку, вообще говоря, будет больше, чем смещение Подробно смещение будет рассматриваться позднее.

Из последней теоремы следует

Следствие 5.4.1. Дополнительно предположим, что и m является константой по отношению к Т. Пусть также

    (5.4.9)

тогда

    (5.4.10)

для . В пределе есть асимптотически несмещенная оценка

Таким образом, рассматривая первый момент при не слишком большом по сравнению с , мы получим, что является вполне приемлемой оценкой . Оценка приемлема даже в том случае, когда неизвестно и Относительно второго момента этой оценки справедлива

Теорема 5.4.2. Пусть — действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.2 (1). Пусть задано выражениями (5.4.1) — (5.4.3) с Пусть не зависит от Т. Тогда

и

    (5.4.12)

В случае осреднение ординат соседних периодограмм привело к уменьшению дисперсии такой оценки в раз по сравнению с дисперсией периодограммы. Таким

(см. скан)

Рис. 5.4.3. Десятичный логарифм оценки спектра для месячных средних чисел солнечных пятен за 1750-1965 гг. с осредненными ординатами периодограммы. (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

Рис. 5.4.4. Нижние частоты десятичного логарифма для месячных средних чисел солнечных пятен за 1750-1965 гг. с осреднением пяти ординат периодограммы. (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

образом, предполагаемый выбор величины должен быть столь большим, чтобы был достигнут необходимый уровень устойчивости оценки. Однако при обсуждении теоремы 5.4.1 было показано, что смещение оценки может возрастать с возрастанием параметра , следовательно, в качестве должно быть выбрано некоторое промежуточное значение.

Дисперсия величины в случае приблизительно удваивается по сравнению со случаем . Это является отражением того факта, что в первом из этих случаев оценка использует вдвое меньше независимых переменных. Асимптотическое распределение для в некоторых условиях регулярности дает

Теорема 5.4.3. Пусть — действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1, и величина определяется формулами (5.4.1) — (5.4.3), причем , когда . Пусть для Тогда асимптотически независимы и имеет асимптотическое распределение если

и асимптотическое распределение если

Эта теорема будет особенно полезной позднее для нахождения доверительных границ оценки

На рис. 5.4.3 представлен десятичный логарифм от , полученной по формулам (5.4.1) — (5.4.3) для рядов ежемесячных чисел солнечных пятен, периодограммы которых были даны на рис. 5.2.3 и 5.2.4. Статистика вычислена для . Хорошо видно, что с возрастанием устойчивость оценок возрастает. Из рисунка видно также, что значительная масса сосредоточена в нуле. Это означает, что соседние значения ряда имеют тенденцию сосредоточиваться в кластеры. Это замечание подтверждается исследованием самого ряда (рис. 1.1.5). Периодограмма и графики, соответствующие , указывают на возможный пик в спектре в окрестности частоты . Эта частота соответствует одиннадцатилетнему циклу солнечной активности, упоминаемому Швабе в 1843 г. [Newton Н. W. (1958)]. Рассматриваемый пик исчезает в случае что указывает на тот факт, что смещение становится значительным. Так как этот пик представляет особый интерес, изобразим график в случае в увеличенном масштабе на рис. 5.4.4. На этом рисунке можно также различить пик около частоты что является первой гармоникой частоты

Рисунки 5.4.5 — 5.4.8 представляют спектральные оценки рядов ежемесячных средних количеств осадков, периодограммы которых были приведены на рис. 5.2.2. Статистика вычислена при Как и прежде, увеличение параметра ведет к повышению устойчивости оценки. Значительный пик соответствует частоте один цикл в год, что вполне оправдывается сезонной природой ряда. Для других значений Я величина близка к константе, из чего можно заключить, что ряд приблизительно представляет собой годовую компоненту, наблюдаемую на фоне белого шума.

График на рис. 5.4.9 является эмпирическим подтверждением справедливости теоремы 5.4.3. Это график значении ежемесячных чисел солнечных пятен, распределенных, по . Величина была образована сглаживанием 15 прилегающих ординат периодограмм. Если близка к константе для что предполагается в исследуемом случае, и, согласно теореме 5.4.3, величину можно приблизить распределением то предлагаемый график значений должен быть близок к прямой линии. Это - можно наблюдать на рис. 5.4.9. Правая часть графика, однако, обладает некоторой

(см. скан)

Рис. 5.4.5. Оценка составного ряда осадков для Англии и Уэльса за 1789-1959 гг. с осреднением пяти ординат периодограммы (логарифмический масштаб). (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

(см. скан)

Рис. 5.4.6. Оценка составного ряда осадков для Англии и Уэльса за 1789-1959 гг. с осреднением одиннадцати ординат периодограммы (логарифмический масштаб). (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

(см. скан)

Рис. 5.4.7. Оценка составного ряда осадков для Англии и Уэльса за 1789-1959 гг. с осреднением пятнадцати ординат периодограммы (логарифмический масштаб.) (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

(см. скан)

Рис. 5.4.8. Оценка составного ряда осадков для Англии и Уэльса за 1789-1959 гг. с осреднением двадцати одной ординаты периодограммы (логарифмический масштаб). (По горизонтали — частоты в цикл/месяц.)

(см. скан)

Рис. 5.4.9. График распределенных по верхних оценок спектра мощности со сглаживанием пятнадцати прилегающих ординат периодограмм для средних месячных чисел солнечных пятен за 1750-1965 гг.

кривизной. Направление этой кривизны указывает на то, что действительное распределение убывает на бесконечности быстрее теоретического.

Важно отметить, что вычисление для последовательности значений дает нам гораздо большую информацию о спектре, чем вычисление при одном единственном значении . Графики оценок спектральной плотности при малых значениях помогают раскрыть почти периодические компоненты спектра и их местоположение, в то время как графики при больших значениях дают гладкие кривые спектров и могут быть полезны в вопросах выбора модели. В том случае, когда значения уже получены (возможно вычислены посредством быстрого преобразования Фурье), не составляет большого труда вычислить оценки спектра для нескольких значений .

Предложение об использовании сглаживания периодограмм для улучшения свойств спектральных оценок внес Daniell (1946); см. также Bartlett (1948b, 1966), Jones (1965) и письмо Tick (1966). Bartlett (1950) использовав -распределение для оценок сглаженных периодограмм.