7.10. Упражнения

7.10.1. Покажите, что для рядов имеющих абсолютно суммируемую кросс-ковариационную функцию имеет место соотношение

7.10.2. Покажите, что в условиях предыдущего упражнения коспектр рядов является квадратурным спектром рядов

7.10.3. Покажите, что в условиях первого упражнения принимает действительные значения, если .

7.10.4. Предположим, что авто- и кросс-ковариационные функции стационарных рядов абсолютно суммируемы. Используя тождество

докажите, что

7.10.5. Докажите, что если то для выполняется соотношение

7.10.6. Докажите, что

7.10.7. Предположим, что являются стационарными рядами.

(a) Покажите, как коспектр рядов можно оценить с помощью спектра мощности .

(b) Покажите, как квадратурный спектр рядов можно оценить с помощью коспектра

7.10.8. Покажите, что в условиях теоремы 7.4.4 вектор

имеет асимптотически нормальное двумерное распределение с дисперсиями

и ковариацией

7.10.9. Покажите, что в условиях теоремы асимптотически имеют нормальное двумерное распределение с ковариационной структурой

7.10.10. Покажите, что в условиях теоремы 7.4.4 имеют асимптотически нормальное двумерное распределение с ковариационной структурой

7.10.11. Покажите, что при условии математическое ожидание величины дается формулой

7.10.12. Пусть является двумерным рядом, удовлетворяющим условию 2.6.1. Примем обозначения

для Покажите, что являются асимптотически независимыми величинами с распределением

Убедитесь, что при

является неплохой оценкой для

7.10.13. Покажите, что результаты теорем 7.2.3, 7.2.4, 7.2.5 и 7.3.3 дают более точную асимптотику, нежели в случае, когда представляют собой последовательность независимых одинаково распределенных двумерных нормальных величин.

7.10.14. Предположим, что ряд удовлетворяет условию и имеет среднее 0. Тогда

где существуют такие К и L, что

7.10.15. Предположим, что выполнены условия теоремы 7.3.3. Пусть Тогда имеет асимптотическое распределение с функцией плотности

при и функцией плотности

при Указание. Воспользуйтесь упр. 4.8.33.

7.10.16. Пусть является автоковариационной матрицей стационарного -мерного ряда Покажите, что матрица неотрицательно определена для

7.10.17. Пусть обозначает матрицу спектральной плотности стационарного -мерного ряда Покажите, что

7.10.18. Допустим, что автоковариационная функция в упр. 7.10.16 удовлетворяет условию

и Покажите, что существует такой - суммируемый -фильтр что для ряда

выполняется соотношение для .

7.10.19. Пусть является векторным рядом из примера 2.9.7. Покажите, что

7.10.20. Покажите, что в условиях теоремы 4.5.2 существует такое конечное L, что с вероятностью 1

7.10.21. Покажите, что для случая несглаженных данных утверждение теоремы 7.2.1 принимает вид

7.10.22. Предположим, что -мерный ряд , удовлетворяет условию Пусть задано выражением (7.3.1). Пусть также для целых и s. Покажите, что для

7.10.23. Допустим, что выполнены условия теоремы 7.2.5. Положим

Тогда величины

распределены асимптотически как если и как если .

7.10.24. Рассмотрим оценку

в которой Покажите, что в условиях теоремы 7.3.3 асимптотически распределена как

где являются независимыми переменными с распределением Укажите среднее и ковариационную матрицу предельного распределения.

7.10.25. Предположим, что оценка

используется в случае четного . Покажите, что в условиях теоремы 7.3.3 эта оценка имеет асимптотическое распределение

7.10.26. Покажите, что оценка (7.4.5) является неотрицательно определенной, если для неотрицательно определена матрица . Указание. Воспользуйтесь результатом Шура о неотрицательности в случае, когда неотрицательны см. Bellman (1960, стр. 94).

7.10.27. Покажите, что матрица оценок (7.7.9) неотрицательно определена, если таковой же является матрица в случае для .

7.10.28. Покажите, что в условиях теоремы 7.3.2 оценка является состоятельной, если или

7.10.29. Покажите, что в условиях теоремы являются асимптотически независимыми величинами с распределениями соответственно. Покажите также, что величина где

имеет асимптотическое -распределение. Этот результат можно использовать при построении приближенных доверительных областей для

7.10.30. Покажите, что в условиях теоремы 7.4.3 нужно выбирать чтобы минимизировать среднеквадратичную ошибку см. Bartlett (1966, стр. 316).

7.10.31. Докажите, что в условиях теоремы 7.6.2 асимптотически независимы, если равны нулю.

7.10.32. Покажите, что в случае ряда X (?), , не обязательно гауссовского, ковариация (7.6.21) равна

7.10.33. В случае стационарного, действительного гауссовского ряда докажите, что ковариационная структура предельного, процесса

в теореме 7.6.3 такая же, как и

где В (а) есть броуновское движение на

7.10.34. Если ряд является действительным белым шумом с дисперсией и четвертым семиинвариантом то предельный процесс теоремы 7.6.3 имеет ковариационную функцию

7.10.35. Покажите, что для линейного действительного ряда , в условиях теоремы 7.6.3

слабо сходится к гауссовскому процессу, у которого ковариационная функция не содержит спектра четвертого порядка ряда

7.10.36. Пусть является -мерным рядом, - удовлетворяющим условию 2.6.1. Покажите, что , задаваемая формулой (7.6.10), , задаваемая формулой (7.6.12), имеют одинаковое предельное нормальное распределение. См. также упр. 4.8.37.

7.10.37. Пусть

где

. В условиях теоремы 7.6.1 покажите, что , являются асимптотически независимыми нормальными величинами со средним при . Этот результат можно использовать для построения приближенных доверительных интервалов

7.10.38. Пользуясь замечанием в § 7.9, докажите следующее тождество:

7.10.39. Положим

и

для Покажите, что матрица неотрицательно определена.

7.10.40. Пусть ряд удовлетворяет условию . Покажите, что выполняется соотношение (7.2.14) с равномерными по остаточными членами

7.10.41. Используя результаты предыдущего упражнения, покажите, что в условиях теоремы 7.4.3

7.10.42. Пусть ряд - удовлетворяет условию Допустим, что имеет ограниченную вариацию. Пусть удовлетворяет условию 6.4.1. Положим при при Тогда

Покажите, что асимптотически нормальна,

и

Указание. Воспользуйтесь предыдущим упражнением.