8.7. Асимптотические моменты второго порядка рассмотренных оценок

Займемся теперь некоторыми свойствами моментов второго порядка статистик, описанных в предыдущем параграфе.

Теорема 8.7.1. Если выполнены условия теоремы 8.6.1 и невырожденна в окрестности или , то

    (8.7.1)

при где для . Если , то

    (8.7.4)

Для того чтобы рассмотреть различные аспекты этих результатов, выпишем соотношения, вытекающие из (8.7.1) и разложений по теории возмущений, приведенных в упр. 8.16.24, обозначив через матрицу

при

Набор величин , из которого исключена обозначим . Тогда на основании упр. 8.16.37

    (8-7-8)

а также и поэтому

Что касается дисперсии, из формулы (8.7.10) ясно, что оценка будет наилучшей, если множественная Когерентность близка и множественная когерентность близка .

Обратившись к оценке прироста и фазы, сперва отметим соотношения

льхьхь

и

    (8.7.13)

Из выражений (8.7.6) -(8.7.8), (8.7.11) и (8.7.13) выводим

и

    (8.7.15)

Таким образом, дисперсии величин малы, если частная когерентность после удаления линейного влияния будет близка к 1. В случае частная когерентность в выражениях (8.7.14) и (8.7.15) заменяется на когерентность

Заметим, что если , то асимптотика ковариаций логарифма прироста и фазы одинакова.

Рис. 8.7.1. График функции

Рассматривая оценку матрицы спектральной плотности для ошибки, отметим, что, как показывают формулы (8.7.2) и (7.4.17), асимптотическое поведение во втором порядке в точности такое же, как если бы эта оценка была прямой спектральной оценкой основанной на значениях

Из (8.7.3) следует, что асимптотическое поведение оценок частных когерентностей совпадает с асимптотикой оценок когерентностей таких -мерных векторных рядов, у которых когерентностями генеральных совокупностей являются частные когерентности . Взяв можно с помощью (8.7.3) заключить по аналогии со следствием 7.6.2, что

    (8.7.16)

Асимптотическая структура ковариаций оказывается одной и той же при всех значениях s, . Изучение (8.7.16) наводит на мысль рассмотреть преобразование, стабилизирующее дисперсию

Характер этого преобразования иллюстрирует табл. 8.7.1 и рис. 8.7.1. Видно, что значения вблизи 0 изменяются очень мало, в то время как вблизи 1 значения очень сильно возрастаю.

Таблица 8.7.1 Значения (см. скан)

Далее,

    (8.7.18)

В случае частная когерентность совпадает с множественной когерентностью и ее оценкой служит оценка Тем самым выражения (8.7.18) и (8.7.19) будут верны также и для . Enochson, Goodman (1965) изучали воздействие этого преобразования и предложили такие приближенные

выражения:

    (8.7.20)

если

    (8.7.22)

Если привлекаются оценки из § 8.5, то надо взять .

Parzen (1967 а-с) нашел асимптотическое среднее и дисперсию для при Jenkins, Watt (1968, стр, 484, 492) определили асимптотическую структуру ковариаций . В случаях r=s=1 Jenkins (1963а) получил асимптотические дисперсии фазы, прироста и когерентности.