Главная > Временные ряды. Обработка данных и теория
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

9.2. Анализ главных компонент векторных величин

Пусть X — случайный вектор с компонентами, имеющий среднее и ковариационную матрицу Займемся задачей одновременной минимизации всех собственных чисел симметричной матрицы

    (9.2.1)

за счет выбора вектора с компонентами, -матрицы В и -матрицы С. Определив соответствующие величины и С, можно убедиться, как уже отмечалось в § 8.2, что они доставляют минимум также монотонным функциям от собственных чисел матрицы (9.2.1), таким, Как след, детерминант и диагональные элементы.

Поскольку любая -матрица А ранга может быть представлена в виде произведения СВ, в котором В имеет размеры а С — размеры (упр. 3.10.36), то тем самым, отыскивая В и С, мы одновременно найдем матрицу А ранга, не превосходящего q, которая минимизирует собственные числа матрицы

    (9.2.2)

Ответ на поставленную экстремальную задачу дает

Теорема 9.2.1. Пусть -компонентный случайный вектор X таков, что Тогда все собственные числа матрицы (9.2.1) минимальны, если взять

    (9.2.3)

и

    (9.2.5)

где есть собственный вектор матрицы

Если соответствующие собственные значения матрицы обозначить буквами то при указанном выше выборе и С матраца (9.2.1) примет вид

    (9.2.6)

Теорема 9.2.1 является частным случаем теоремы, доказанной Okamoto и Kanazawa (1968); см. также Okamoto (1969). Тот факт, что указанные и С минимизируют след (9.2.1), установили Kramer, Mathews (1956), Rao (1964, 1965) и Darroch (1965).

Величина

    (9.2.7)

называется главной компонентой вектора . Отметим результат, относящийся к главным компонентам.

Следствие 9.2.1. При условиях теоремы 9.2.1

    (9.2.8)

Таким образом, главные компоненты X оказываются такими линейными комбинациями составляющих вектора X, которые некоррелированны. Можно было бы охарактеризовать главную компоненту как линейную комбинацию при которая имеет максимальную дисперсию и некоррелированна с [Hotelling (1933); Anderson (1957, гл. 11), Rao (1964, 1965) и Morrison (1967, гл. однако определение (9.2.7) больше подходит для дальнейших целей.

Покажем теперь, как проводятся оценки упомянутых выше параметров. Для удобства рассмотрения предположим, что тогда формула (9.2.5) дает для значение 0. Допустим, что известна выборка , значений случайного вектора X из теоремы 9.2.1. Введем -матрицу

    (9.2.9)

В качестве оценки для ковариационной матрицы возьмем

    (9.2.10)

Далее, в качестве оценки выберем из упорядоченных по возрастанию собственных чисел матрицы оценим соответствующим собственным вектором матрицы Тогда справедлива

Теорема 9.2.2. Пусть величины , образуют выборку из распределения . Предположим, что матрица имеет различных собственных чисел . Тогда величина асимптотически нормальна и при этом асимптотически независимы от Асимптотические выражения для моментов этих величин даются формулами

    (9.2.11)

и

    (9.2.14)

Эту теорему установил Girshick (1939). Anderson (1963) получил предельное распределение в случае, когда среди собственных значений матрицы есть совпадающие. Из выражения (9.2.13) вытекает полезный результат:

    (9.2.15)

James (1964) нашел точное распределение при выполнении условий теоремы; оказалось, что это распределение зависит только от . Он получил также асимптотические выражения функции правдоподобия для более подробные, чем в приведенной нами теореме; см. James (1964), Anderson (1965) и James (1966). Точное распределение векторов, дуальных приводит Dempster (1969, стр. 303). Tumura (1965) нашел распределение, эквивалентное распределению величин Chambers (1967) указал выражения для кумулянтов асимптотического распределения при условии существования у распределений конечных моментов. Эти кумулянты могут быть использованы для построения приближений к распределениям по методу Корниш—Фишера. Поскольку будут близки к выборочным дисперсиям, может оказаться полезным приближение их распределений масштабированными -распреде-лениями, например, можно взять в качестве аппроксимации распределение . Madansky, Olkin (1969) приводят приближенные доверительные границы для набора см. также Mallows (1961). Разумеется, мы могли бы применить «процедуру складного ножа» Тьюки, чтобы определить приближенно

доверительные области для собственных чисел и собственных векторов [Brillinger (1964с, 1966b)].

Sugiyama (1966) вывел распределение наибольшего, собственного числа и соответствующего собственного вектора матрицы Krishnaiah, Waikar (1970) получили совместное распределение нескрльких собственных значений. Вычисления, относящиеся к данному случаю, рассматривает Golub (1969). В нормальном случае асимптотическое распределение для

    (9.2.16)

нашел Izenman (1972).

При изучении временных рядов нам понадобятся аналоги рассмотренных результатов, относящиеся к комплексным случайным величинам. Вначале сформулируем следующее утверждение.

Теорема 9.2.3. Пусть X — случайный вектор с компонентами, у которого Столбец -матрица В и -матрица С минимизируют сразу все собственные значения матрицы

    (9.2.17)

если взять

    (9.2.18)

и

где - есть собственный вектор . Если обозначает соответствующее собственное число, то экстремальное значение (9.2.17) равно

    (9.2.21)

Отметим, что так как — эрмитова и неотрицательно определенная матрица, то все неотрицательны. Степень аппроксимации непосредственно зависит от того, сколь близки к нулю числа Мы пришли к аппроксимации X вектором

    (9.2.22)

где

    (9.2.23)

Ранее мы сталкивались с подобной ситуацией в теореме . В связи с теоремой 9.2.3 приходим к изучению величин . Они называются главными компонентами вектора X. Если X имеет распределение , то будут независимыми величинами с распределением .

Теперь оценим параметры, характеризующие распределение вектора X. Пусть , образуют выборку из распределения определяется выражением (9.2.9). Тогда в качестве оценки для возьмем

    (9.2.24)

Матрица имеет комплексное распределение Уишарта. Обозначим ее собственные числа и собственные векторы соответственно как . Эта матрица эрмитова и неотрицательно определена, поэтому неотрицательны. Справедлива

Теорема 9.2.4. Пусть величины представляют собой выборку из распределения . Предположим, что все собственные значения матрицы различны. Тогда величина асимптотически нормальна и асимптотически не зависит от . Асимптотические моменты выражаются формулами

    (9.2.25)

Теорема 9.2.4 основывается на двух фактах: собственные значения и собственные векторы матрицы являются дифференцируемыми

функциями матричных элементов и при асимптотически нормальна; см. Gupta (1965).

Выражение (9.2.27) показывает, что

    (9.2.30)

В полной аналогии со случаем действительного X можно рассмотреть аппроксимацию распределения величины посредством

    (9.2.31)

Особенно хорошим приближение (9.2.31) оказывается тогда, когда недиагональные элементы малы, а диагональные элементы заметно отличаются друг от друга. Точное распределение в комплексном нормальном случае нашел James (1964). Из выражения (9.2.29) при видно, что асимптотически имеет комплексное нормальное распределение. Кроме того, мы заключаем на основании (9.2.28), что разброс будет велик, если некоторые из очень близки по величине.

1
Оглавление
email@scask.ru