3.8. Функции от преобразования Фурье

Пусть - интересующий нас векторный временной ряд. Для того чтобы рассматривать статистические свойства некоторых рядов, полученных в результате применения операторов к ряду X (t), нам необходимы некоторые сведения об аналитических свойствах функций от преобразований Фурье. Дадим следующее

Определение 3.8.1. Пусть С обозначает поле комплексных чисел. Функция принимающая комплексные значения и определенная для , где - открытое подмножество из называется голоморфной если каждая точка имеет окрестность U, такую, что допускает разложение в степенной ряд

    (3.8.1)

Иногда для определения голоморфных функций бывает полезна

Теорема 3.8.1. Допустим, что функции от переменных, голоморфные в окрестности точки . Если , а детерминант матрицы Якоби

отличен от нуля в точке то уравнения

    (3.8.3)

имеют единственное решение , которое голоморфно в окрестности точки

Эта теорема содержится в книге Bochner, Martin (1948, стр. 39). Из нее, например, вытекает, что нули полинома являются голоморфными функциями от коэффициентов полинома в области, где полином имеет различные корни. Из этого в свою очередь следует, что собственные значения матрицы являются голоморфными функциями от ее элементов в области различных собственных значений, см. упр. 3.10.19.

Обозначим символом пространство функций преобразование Фурье которых имеет вид

    (3.8.4)

где а принимает действительные значения и удовлетворяет условию

    (3.8.5)

При выполнении условия (3.8.5) область определения может быть расширена до множества комплексных таких, что . Тогда справедлива

Теорема 3.8.2. Если функции принадлежат классу - голоморфная функция в области значений , то также принадлежит

Эту теорему можно вывести из результатов Гельфанда и др. (1960). Первые теоремы такого типа получили Wiener (1933) и Levy (1933).

Приведем пример использования последней теоремы. Пусть является реализуемым - суммируемым -фильтром с передаточной функцией , такой, что . Из последнего условия

вытекает, что элементы матрицы суть голоморфные функции от элементов матрицы в окрестности области значений ; см. упр. 3.10.37. Применение теоремы 3.8.2 показывает, что элементы матрицы входят в и, следовательно, оказывается передаточной функцией реализуемого -суммируемого частности, если - стационарный -компонентный ряд с то соотношение

    (3.8.6)

можно с вероятностью единица обратить и получить, что

    (3.8.7)

Здесь функция, для которой

    (3.8.8)

Заметим, что условие эквивалентно такому условию: функция

    (3.8.9)

не имеет корней в единичном круге . В том случае, когда , т. е. является белым шумом с конечным средним, из этих рассуждений вытекает, что если

    (3.8.10)

не имеет корней в единичном круге, то схема авторегрессии

    (3.8.11)

имеет с вероятностью единица стационарное решение вида

    (3.8.12)

где

    (3.8.13)

для всех .

Иногда оказываются полезными иные результаты той же природы. Дадим следующее

Определение 3.8.2. Функция f (z), принимающая комплексные значения и определенная для , где D — открытое подмножество называется голоморфной в действительном смысле, если у каждой точки имеется окрестность U, такая, что в этой окрестности представляется сходящимся степенным рядом, т. е. для всех

    (3.8.14)

Введем далее пространства функций имеющих преобразование Фурье вида

    (3.8.15)

где а принимает действительные значения и удовлетворяет условию

    (3.8.16)

Тогда верна

Теорема 3.8.3. Если функции принадлежат - функция, голоморфная в действительном смысле в окрестности области значений , то также принадлежит

Эта теорема снова вытекает из результатов Гельфанда и др. (1960). Сравнивая последнюю теорему с теоремой 3.8.2, мы видим, что требуемая здесь область регулярности функции меньше, а принимаемые ею значения могут быть более общими.

Укажем одно из применений теоремы 3.8.3. Пусть , будет - суммируемым -фильтром с передаточной функцией удовлетворяющей условию Тогда существует -суммируемый фильтр передаточной функцией Или еще можно сказать, что существует -суммируемый фильтр с передаточной функцией

В качестве примера совместного использования теорем 3.8.2 и 3.8.3 отметим следующий результат, полезный при линейном прогнозе действительных стационарных рядов.

Теорема 3.8.4. Пусть ряд, принимающий действительные значения, имеющий среднее нуль и ковариационную функцию

Предположим, что

где ряд

    (3.8.18)

имеет нулевое среднее и автоковариационную функцию При этом коэффициенты удовлетворяют условию

    (3.8.20)

Коэффициенты определяются здесь неявным образом. Если рассмотреть функции

то для них справедливы соотношения

    (3.8.22)

Если выполняется условие (3.8.17) и не обращается в нуль, то можно записать

    (3.8.25)

где

    (3.8.26)

и

    (3.8.27)

согласно теореме 3.8.3. Опираясь на выражение (3.8.24), определим

    (3.8.28)

Соответствующие последовательности удовлетворяют условию (3.8.20) в силу теоремы 3.8.2.

Теоремы 3.8.2 и 3.8.3 впервые были использованы при анализе временных рядов в работе Hannan (1963). Библиография к этим теоремам — книги Arens, Calderon (1955) и Гельфанд и др. (1960). Baxter (1963), используя эти процедуры, получил неравенство, которое может быть полезно при оценке ошибки конечных аппроксимаций некоторых преобразований Фурье.