10.3 Ряды канонических переменных

Рассмотрим задачу, которая упоминалась во введении к этой главе: отыскивается вектор с s компонентами, -фильтр и -фильтр такие, что если

    (10.3.1)

то

    (10.3.2)

будет близок к . Предположим, что степень близости рядов измеряется величиной математического ожидания

которое можно представить в виде

    (10.3.4)

если

Теорема 10.3.1. Пусть

стационарный в широком смысле ряд с компонентами, имеющий среднее

абсолютно суммируемую автоковариационную функцию и матрицу спектральной плотности

Предположим, что матрица невырожденна. Тогда при заданных следующий выбор минимизирует (10.3.3):

    (10.3.8)

и

где

и

    (10.3.12)

Здесь есть собственный вектор матрицы Если обозначает соответствующее собственное значение, то минимум (10.3.3), который достигается при указанном выше выборе, равен

    (10.3.13)

В этой теореме приходится рассматривать собственные значения и собственные векторы некоторых матриц, построенных по матрице спектральной плотности. Теорема 10.3.1 представляет собой обобщение теорем 8.3.1 и 9.3.1, которые вытекают из нее, если соответственно взять или с вероятностью 1.

Нетрудно видеть, что ряд ошибок

    (10.3.14)

имеет среднее значение 0 и матрицу спектральной плотности

    (10.3.15)

. Эта матрица является суммой двух слагаемых, различных характеру. Первое из них

появлялось как матрица спектральной плотности ошибки, связанной с регрессией на ряд Оно представляет собой нижнюю грань степени аппроксимации, неулучшаемую посредством выбора q, и одновременно выступает как мера качества линейной аппроксимации ряда рядом Второе слагаемое

    (10.3.17)

при фиксированном q будет мало, если малы собственные значения . Оно является убывающей функцией q, и при или обращается в 0.

Критерий (10.3.3) выбран так, что различные компоненты входят с равными весами. Такое условие может оказаться нежелательным в случае, когда дисперсии разных компонент существенно отличаются по величине или когда сложна структура корреляционных связей компонент. Для ряда целей может оказаться полезным критерий достижения минимума выражением

    (10.3.18)

В этом случае получается

Следствие 10.3.1. При выполнении условий теоремы 10.3.1 выражение (10.3.18) будет минимальным, если выбрать фильтры по формулам, приведенным в этой теореме, но только в качестве следует брать собственные векторы матрицы

Процедура аппроксимации, о которой говорится в следствии, обладает тем преимуществом, что она остается инвариантной при невырожденной фильтрации рядов, см. упр. 10.6.5. Упомянутые здесь собственные векторы играют важную роль и в следующем утверждении.

Теорема 10.3.2. Пусть выполнены условия теоремы 10.3.1. Рассмотрим ряды с действительными значениями, имеющие представления

    (10.3.19)

и

    (10.3.20)

Предположим, что удовлетворяют условиям и ряды таковы, что их когерентность максимальна, а когерентность с рядами нулевая. являются соответственно решениями уравнений

    (10.3.21)

и

    (10.3.22)

здесь При этом максимальное значение равно

Решение уравнений (10.3.21) и (10.3.22) тесным образом связано с отысканием собственных значений и собственных векторов матрицы, фигурирующей в следствии 10.3.1, которые удовлетворяют соотношению

    (10.3.23)

Из него вытекают равенства

    (10.3.24)

и

    (10.3.25)

которые позволяют нам отождествить и взять пропорциональными соответственно

По сравнению со следствием 10.3.1 теорема 10.3.2 выгодно отличается тем, что ряды выступают в ней симметричным образом. Пары рядов введенные в этой теореме, называют парами канонических рядов. Их когерентность именуется канонической когерентностью. Канонические пары можно было бы ввести и по аналогии со способом теоремы 10.2.4.

В том случае, когда автоковариационные функции рассматриваемых рядов быстро убывают при коэффициенты соответствующих фильтров тоже быстро убывают. Точнее говоря, справедлива

Теорема 10.3.3. Пусть наряду с условиями теоремы 10.3.1 выполняются следующие:

    (10.3.26)

и

    (10.3.27)

при некотором РО. Если все собственные значения матрицы различны, то коэффициенты фильтров, определенных в теореме 10.3.1, удовлетворяют условиям

    (10.3.28)

и

    (10.3.29)

Автоковариационная функция ряда ошибок также удовлетворяет условию

    (10.3.30)

Содержащийся в следующей теореме близкий результат оказывается иногда полезным при упрощении структуры временных рядов.

Теорема 10.3.4. Пусть выполняются условия теоремы 10.3.1 и неравенства

при некотором Пусть также собственные значения матрицы не совпадают друг с другом и отличны от нуля. Тогда существуют такие -фильтр -фильтр что

    (10.3.33)

и

    (10.3.35)

имеет матрицу спектральной плотности

    (10.3.36)

Пинскер (1960) отметил, что, пропустив стационарный ряд через фильтр, можно получить ряд с матрицей спектральной плотности (10.3.36).