9.7. Упражнения

9.7.1 Пусть , обозначают собственные числа неотрицательно определенной матрицы Пусть — собственные числа матрицы

Таблица 9.6.2. Собственные векторы ковариационной матрицы (см. скан)

где Покажите, что

9.7.2. Предположим, что выполнены условия теоремы 9.3.1 и пусть при . Покажите, что фильтры определенные в этой теореме, обладают свойством при и

9.7.3. Покажите, что при выполнении условий теоремы 9.3.1 когерентность рядов равна

9.7.4. Докажите, что Для величин, фигурирующих в теоремах 9.2.2 и 9.2.4.

9.7.5. Пусть выполнены условия теоремы 9.4.3. Покажите, что величина распределена асимптотически как , где

9.7.6. Воспользуемся оценками теоремы 9.4.3, но предварительна сгладим данные при помощи сглаживающей функции . Покажите, что тогда при выполнении условий этой теоремы в формулы для асимптотических ковариаций (9.4.15) и (9.4.17) надо ввести сомножитель

9.7.7. Покажите, что при выполнении условий теоремы асимптотически распределены как независимые нормальные величины, т. е. соответственно как от параметр распределения тот же» что и в упр. 9.7.5.

9.7.8. а) Покажите, что если оденку (9.4.19) сгладить по всему диапазону частот, то предложенная техника анализа сведется к обычному анализу главных компонент выборочной ковариационной матрицы

b) Пусть гауссовский ряд удовлетворяет услеви» 2.6.2 (1), — собственные значения и векторы матрицы (0), причем все собственнее значения различны. Применяя (7.6.11) и разложения, использованные при доказательстве теоремы 9.2.4, покажите, что являются асимптотически совместно нормальными и, кроме

того

(см. скан)