5.11. Отступление от принятых предположений

В этом параграфе мы обсудим действие некоторых элементарных отступлений от принятых в данной главе предположений. Одним из важных допущений является

    (5.11.1)

и

    (5.11.2)

где

Прежде всего рассмотрим случай, когда условие (5.11.2) не выполняется: Пусть

где постоянны, равномерны на а ряд удовлетворяет условию 2.6.1. В таком случае ковариационная функция ряда (5.11.3) представляется в виде

откуда следует, что условие (5.11.2) не выполнено. Заметим, что спектральная функция , существование которой доказывается в теореме 2.5.2, представляется в виде

где

    (5.11.6)

а означает спектральную плотность ряда Обобщенная производная выражения (5.11.5) равна

    (5.11.7)

где - функция Дирака. Функция (5.11.7) имеет бесконечные пики в точках над ограниченной непрерывной функцией . Говорят, что ряд, задаваемый выражением (5.11.3), имеет смешанный спектр.

Для рассматриваемого ряда из выражения (5.11.3) следует, что

    (5.11.8)

где определено в формуле (4.3.14). Функция имеет большую амплитуду только для . Это означает, что

    (5.11.9)

в то время как

    (5.11.10)

для . Как следует из формулы (5.11.9), изучая значимые пики периодограммы , можно оценить значения Значения можно оценить с помощью выражения

    (5.11.11)

По существу эту процедуру использования периодограмм предложил Schuster (1898) для отыскания скрытых периодичностей ряда. Формула (5.11.10) показывает, что мы можем оценить сглаживанием периодограммы, Избегая при этом частот в непосредственной окрестности Равномерно осредняя v ординат периодограммы целое), из теоремы 4.4.1 и выражения (5.11.10) получим, что эта оценка асимптотически равна в случае ; случай рассматривается аналогично.

Приведенную выше простую модификацию сглаживания периодограмм, устраняющую пики, изучали Bartlett (1967), Brillinger, Rosenblatt (1967b). Это близко связано с техникой предварительной фильтрации, обсуждаемой в § 5.8. Читатель может обратиться также к работам: Hannan (1961b), Priestley (1962b, 1964) и Nicholls (1967). Albert (1964), Whittle (1952b), Hext (1966) и Walker (1971) рассматривали проблему построения более точных оценок из выражения (5.11.3).

Обратимся к ситуации, в которой нарушено условие неизменности среднего (5.11.1). Следуя § 2.12, будем изучать модель

с трендом

    (5.11.12)

где — известные функции, — неизвестные постоянные и ненаблюдаемый ряде нулевым средним, удовлетворяющий условию 2.6.1. Такие модели рассматривал Grenander (1954). Эта модель позволяет построить по методу наименьших квадратов оценки параметров минимизируя сумму

    (5.11.13)

и оценить затем из ряда остатков

    (5.11.14)

. Займемся исследованием асимптотических свойств такой процедуры. Введем некоторые условия относительно функций

Условие 5.11.1. Для заданных действительных функций существует последовательность такая, что при и

    (5.11.15)

для причем члены последовательности

ограничены в совокупности для

В качестве примера функций, удовлетворяющих этому условию, рассмотрим

    (5.11.16)

для постоянных Нетрудно видеть, что при

    (5.11.17)

Некоторые другие примеры приводятся в статье Grenander (1954).

Пусть элемент матрицы находящийся на пересечении строки и столбца . Как следует из упр. 2.13.31, существует -матричная функция с элементами ограниченной вариации, такая, что

    (5.11.18)

для Справедлива

Теорема 5.11.1. Пусть действительный ряд, удовлетворяющий условию имеющий нулевое среднее и спектр мощности Пусть также удовлетворяют условию 5.11.1, причем матрица несингулярна. Предположим, что ряд задан формулой (5.11.12) для некоторых постоянных . Пусть - оценки параметров полученные методом наименьших квадратов. Вели ряд задан формулой (5.11.14), причем

где удовлетворяет условию 5.6.1, то переменная имеет среднее и ковариационную матрицу, такую, что

    (5.11.20)

причем последнее выражение асимптотически нормально. Если при асимптотически не зависит от и имеет математическое ожидание

    (5.11.21)

Ковариационная функция этой переменной удовлетворяет условию

    (5.11.22)

причем конечный набор оценок имеет асимптотически нормальное совместное распределение.

Как видно, в приведенных условиях асимптотическое поведение совпадает с поведением оценки вычисленной непосредственно по ряду эффект мы уже наблюдали для временного ряда с неизвестным средним, что соответствует случаю

Из теоремы вытекает

Следствие 5.11.1. При условиях теоремы являются состоятельными оценками для соответственно.

Более подробные результаты, аналогичные теореме 5.11.1, приводятся в гл. 6. Этой теме посвящены статьи Grenander (1954), Rosenblatt (1956а), Hannan (1968), представляет также интерес статья Koopmans (1966). На практике часто используется процедура построения спектральных оценок по первым разностям процедура непосредственным образом устраняет линейный тренд (см. упр. 3.10.2).

Возможна более сложная по сравнению с разобранной в настоящем параграфе ситуация, в которой зависит от обоих параметров t и и. Выражаясь точно, спектр мощности в этом случае вообще неопределен, см. Loynes (1968); однако, в том случае, когда , достаточно слабо зависит от t, вычислениями спектрального типа можно накопить полезную информацию об отрезке ряда. Все предлагаемые в данной главе спектральные оценки мы можем также строить по укороченным отрезкам ряда, для которых предположение стационарности можно приближенно считать выполненным. К этой ситуации скорее всего хорошо будет подходить спектральная оценка, построенная путем осреднения квадрата выхода узкополосного фильтра (см. § 5.9). Такие ситуации обсуждаются в статьях Priestly (1965), Brillinger, Hatanaka (1969).

Интересной может оказаться также следующая ситуация: пусть ряд определен для всех действительных чисел (До сих пор мы рассматривали определенным только для ). Предположим, что

    (5.11.23)

определена для и удовлетворяет условию

    (5.11.24)

тогда определены как

    (5.11.25)

так и

    (5.11.26)

для Функция называется спектром мощности дискретного ряда в то время как спектром мощности непрерывного ряда Спектр чаще всего имеет тот же характер, что и спектр Эти два спектра, согласно (5.11.26), связаны следующим соотношением:

    (5.11.27)

Из (5.11.25) имеем

    (5.11.28)

что

    (5.11.29)

Как видно из соотношения (5.11.29), частота X дискретного ряда связана с частотами непрерывного ряда , а также с частотами ввиду того что Согласно Тьюки, частоты

    (5.11.30)

называются сопутствующими, а сам эффект—подменой частот. Эти частоты невозможно различить с помощью одной единственной функции . В качестве подтверждающего примера рассмотрим ряд

    (5.11.31)

где величина Ф распределена равномерно на Для этого непрерывного ряда имеем

    (5.11.32)

и из определения (5.11.26) —

Эта функция имеет бесконечные пики в точках Рассматривая теперь функцию (5.11.32) для из (2.10.8) или (5.11.29) мы имеем

    (5.11.34)

Последняя функция имеет бесконечные пики в точках так что не может быть точно определено, о нем можно сказать лишь, что оно совпадает с одной из этих частот. В практической ситуации мы не можем знать наверное, какая из частот реально соответствует пику, если оценка спектра мощности вычисленная для , дает пик в точке

Однажды автор столкнулся с подобной ситуацией: производился периодический отсчет числа электронов, попадающих в коническое отверстие вращающегося вокруг своей оси спутника серии Explorer (Зонд). Измерялось остронаправленное поле электронов, так что поступающие данные должны были иметь периодическую составляющую, соответствующую периоду вращения спутника. Планировалось, что частота отсчета данных и скорость вращения спутника будут связаны между собой так, что частота вращения X попадает в интервал . В действительности скорость вращения спутника оказалась выше планируемой, так что частота вращения попала вне интервала . Исследованный спектр, в самом деле, содержал значимый пик, и нужно было решить, какая из сопутствующих частот дала этот пик. В данном случае это оказалось возможным только благодаря наличию оптической информации, давшей грубую оценку этой частоты.

Предварительная фильтрация данных иногда может уменьшить трудности, вызываемые подменой частот. Предположим, что непрерывный временной ряд фильтруется с помощью фильтра с полосой пропускания и после этого записывается в точках

В таком случае из (5.11.29) следует

    (5.11.35)

что значительно упрощает исследование.

Мы закончим этот параграф обсуждением свойств выборки из временного ряда через равные промежутки времени Таким образом, в промежутке времени [0, Т) теперь записываются значения где Сели ряд стационарен и имеет ковариационную функцию причем

    (5.11.36)

то мы определим спектр мощности формулой

    (5.11.37)

или в обращенном виде

    (5.11.38)

Из приведенной формулы видно, что спектр мощности имеет период . А так как то в качестве основного частотного интервала можно выбрать . В этом случае выражение (5.11.29) представляется в виде

Верхний предел интервала а именно называется частотой Найквиста или частотой свертки. Если ряд не имеет компонент с частотами, большими, чем частота Найквиста, то выполняется равенство

    (5.11.40)

для и не возникает никаких подмен частот.

Чтобы построить оценку по ряду определим

    (5.11.41)

и затем, можем, например, воспользоваться сглаживанием периодограммы

Проблему подмены частот обсуждали Beveridge (1922), Press, Tukey (1956), Blackman, Tukey (1958).