2.13. Упражнения

2.13.1. Пусть где - случайная величина, равномерно распределенная в промежутке Определите конечномерные распределения процесса, функцию среднего значения и автоковариационную функцию

2.13.2. Докажите, что если для случайного вектора существуют кумулянты при , то для справедлива формула

2.13.3. Обозначим соответственно через а векторы с такими компонентами обозначим как (Y) и (Z),

Запишем преобразование упр. 2.13.2 в виде где А есть -матрица. Докажите, что где А есть симметрическая степень Кронекера матрицы [Ниа (1963, стр. 10, 100).]

2.13.4. Определите передаточную функцию фильтра, задаваемого формулой (2.9.6).

2.13.5. Покажите, что для (стационарного в широком смысле) ряда , где R — постоянная, — случайная величина с непрерывной плотностью — независимая от со величина, равномерно распределенная на спектр мощности задается формулой

2.13.6. Докажите, что для передаточной функции (-фильтра, определяемого формулой

недиагональные элементы равны и диагональные равны Пусть где удовлетворяет условию также, что передаточные функции отличны от нуля. Обозначим спектры второго порядка соответственно через Докажите, что

2.13.8. Докажите, что если функция W такова, что

2.13.9. Пусть - независимые -компонентные векторные ряды с кумулянтными спектрами соответственно. Докажите, что кумулянтный спектр равен

2.13.10. Докажите, что если принимают действительные значения, имеет кумулянтный спектр , то кумулянтный спектр процесса равен .

2.13.11. Докажите, что для векторного ряда с действительными компонентами.

2.3.12.- Докажите, что если - стационарный гауссовский марковский векторный процесс с компонентами, для которого

то

2.13.13. Докажите, что спектр мощности действительного стационарного гауссовского марковского процесса имеет вид

2.13.14. Приведите пример, показывающий, что процесс определенный в § 2.11, не обязательно является эргодическим.

2.13.15. Пусть — последовательность рядов, удовлетворяющих условию 2.6.1. Предположим, что

для

Предположим еще, что при все конечномерные распределения процесса сходятся по распределению к конечномерным распределениям процесса . Требуется показать, что

2.13.16. Покажите, что для фильтра

передаточная функция обращается в нуль при Рассмотрите результат воздействия этого фильтра на ряд

2.13.17. Пусть для и пусть для Докажите, что функция удовлетворяет условиям из § 2.11, и определите ассоциированный с ней случайный процесс.

2.13.18. Положим где постоянные. Докажите, что функция удовлетворяет условиям § 2.11, и определите ассоциированный с ней случайный процесс.

2.13.19. Пусть независимые ряды с нулевым средним и спектрами мощности соответственно . Покажите, что спектр мощности ряда задается формулой

2.13.20. Пусть - гауссовский ряд с нулевым средним и спектром мощности Покажите, что спектр мощности ряда определяется выражением

2.13.21. Докажите, что если - действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1, то также удовлетворяет условию 2.6.1; определите его кумулянтный спектр.

2.13.22. Докажите, что если при некотором I ряд удовлетворяет условию , где есть -фильтр, такой, что

удбвлетворяет условию

2.13.23. Говорят, что -фильтр а имеет ранг если имеет ранг t при каждом А. Докажите, что в этом случае действие а эквивалентно применению сначала -фильтра, а затем -фильтра.

2.13.24. Докажите, что если , где - векторный -компонентный белый шум и -суммируемый -фильтр, то функция может быть представлена в виде где есть - матричная функция с элементами, аналитическими в круге

2.13.25. Докажите, что если где тельный белый шум и то кумулянтный спектр порядка имеет вид где аналитическая функция в круге

2.13.26. Докажите, что если — процесс скользящего среднего порядка то при

2.13.27. Покажите, используя функциональный подход к анализу временных рядов, что определяет фильтр. Укажите связь между спектрами

2.13.28. Покажите, что , определяемые формулой (2.7.33), получаются из с помощью фильтров с коэффициентами соответственно.

2.13.29. Докажите, что

2.13.30. Пусть - стационарный векторный ряд с компонентами, такой, что , где есть -компонентный белый шум. Докажите, что

2.13.31. Пусть - последовательность положительных чисел, обладающая свойствами: при Пусть есть -компонентная функция, такая, что

для Покажите, что существует -матричная функция такая, что

Указание. Определите как в доказательстве теоремы 2.5.2 [Bochnеr (1959), стр. 329), Grenander (1954)]. Докажите, что для функций , непрерывных на .

2.13.32. Пусть - векторный стационарный ряд с кумулянтным спектром кумулянтный спектр ряда с измененным направлением времени.

2.13.33. Покажите, что

при (формула суммирования Пуассона, Edwards (1967)).

2.13.34. Покажите, что функция не может быть автоковариационной функцией, если при для остальных

Рассмотрим J независимых реализаций стационарного процесса Введем

Покажите, что — стационарный ряд и его спектром мощности является

2.13.36. Пусть - линейный процесс ,

Покажите, что условие 2.6.3 удовлетворяется, если для в некоторой окрестности нуля

2.13.37., Фильтр называется устойчивым, если поступающий на вход ограниченный ряд он преобразует в ограниченный ряд. Покажите, что суммируемый фильтр устойчив.

2.13.38. Пусть — процесс авторегрессии порядка 1 и — белый шум. Положим . Покажите, что - смешанный процесс авторегрессии и скользящего среднего порядка

2.13.39. Сформулируйте и докажите обобщение теоремы 2.9.1 в том случае, - когда ряды принимают векторные значения.