Главная > Временные ряды. Обработка данных и теория
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

6.2. Метод наименьших квадратов и регрессионная теория

Основу метода наименьших квадратов и линейной регрессионной теории составляют две классические теоремы. Первая из них — теорема Гаусса—Маркова

Теорема 6.2.1. Пусть

    (6.2.1)

где есть -матрица случайных величин, причем есть неизвестных параметров и X есть -матрица известных величин. Тогда

    (6.2.2)

минимизируется при выборе а равным если матрица ХХТ несингулярна. Этот минимум равен Математическое ожидание величины а равно а, а ковариационная матрица а задается выражением причем если , то Кроме того, а является линейной несмещенной Оценкой для а с минимальной дисперсией.

Этот результат можно найти, например, в гл. 19 книги Kendall, Stuart (1961). Обратимся к вопросу о распределении величины и а, которую обычно называют оценкой наименбших квадратов величины а.

Теорема 6.2.2. Если в дополнение к условиям теоремы 6.2.1 предположить, что компонент вектора являются величинами,

имеющими нормальное распределение, то имеет распределение имеет распределение и не зависит от а.

Непосредственно из теоремы 6.2.2 следует, что величина

    (6.2.3)

имеет нецентральное -распределение с k и степенями свободы и параметром нецентральности Как видим, гипотезу можно проверить, заметив, что величина (6.2.3) имеет центральное -распределение, когда гипотеза верна. Соответствущую статистику

    (6-2-4)

называют квадратом множественного выборочного коэффициента корреляции. Нетрудно видеть, что Из (6.2.3) следует также, что

    (6.2.5)

и потому распределение этой величины может быть определено непосредственно из нецентрального -распределения.

Пусть обозначают компоненты а и а соответственно, а обозначает — элемент диагонали . Тогда доверительные интервалы для могут быть получены из рассмотрения центрированной величины

    (6.2.6)

имеющей -распределение.

Эти результаты можно применять для действительных случайных величин и параметров. Однако при анализе временных рядов большинство случаев, представляющих интерес, требуют перехода к комплексным величинам. Верна

Теорема 6.2.3. Пусть

    (6.2.7)

где есть -матрица комплексных случайных величин, причем , а есть -матрица неизвестных комплексных параметров, X - -матрица с известными комплексными элементами, Y есть -матрица с известными комплексными элементами. Тогда

    (6.2.8)

минимизируется при выборе а, равным если матрица несингулярна. Этот минимум равен . Кроме того, Если

Для распределений величин а и верна

Теорема 6.2.4. Если в дополнение к условиям теоремы предположить, что компоненты вектора являются независимыми величинами с распределением то имеет распределение имеет распределение и не зависит от а.

Из этой теоремы можно заключить, что величина

    (6.2.9)

имеет нецентральное -распределение со степенями свободы и и параметром нецентральности . Эта статистика может быть использована для проверки гипотезы Соответствующее выражение

    (6.2.10)

является квадратом комплексного множественного выборочного коэффициента корреляции. Нетрудно убедиться, что Также из (6.2.10) получаем

    (6.2.11)

так что распределение этой величины можно определить непосредственно из нецентрального -распределения. Сформулированные выше теоремы 6.2.3 и 6.2.4 приведены в работе Akaike (1965). Khatri (1965а) показал, что а и являются оценками наибольшего правдоподобия для а и

Оценка а играет важную роль при прогнозировании математического ожидания — переменной, связанной с данным Справедлива

Теорема 6.2.5. Предположим, что выполнены условия теоремы 6.2.4. Пусть также

    (6.2.12)

где не зависит от из (6.2.7) и тогда имеет распределение и не зависит от

Во многих ситуациях для компонент вектора а из выражения (6.2.7) желательно знать доверительные области. Как мы видели, в случае действительных величин доверительные интервалы могут быть построены, если учесть, что в условиях теоремы 6.2.2 величина (6.2.6) имеет -распределение. В данном случае возникают осложнения, связанные с тем, что компоненты суть комплексные величины.

Пусть обозначают компоненты соответственно. Пусть также си обозначает диагональный элемент матрицы обозначает

    (6.2.13)

Величина

    (6.2.14)

имеет вид где z имеет распределение , а у не зависит от и имеет -распределение. Тогда

    (6.2.15)

имеет -распределение. Доверительная -процентная область для может быть определена из неравенства

    (6.2.16)

где обозначает более чем -процентную точку -распределения. Заметим, что эта область имеет форму круга с центром в

В некоторых ситуациях предпочтительнее иметь доверительные интервалы для Варианты интервалов можно получить алгебраическим способом из выражения (6.2.16). Пусть

    (6.2.17)

тогда область (6.2.16) приближенно может быть представлена следующим образом:

    (6.2.18)

Это представление для области приводится в работах: Goodman (1957), Akaike, Yamanoufhi (1962).

Границы области (6.2.18) имеют только приближенный характер. Точные -процентные интервалы для могут быть

определены, если заметить, что

    (6.2.19)

имеет нецентральное -распределение со степенями свободы и параметром нецентральности . Теперь для построения точных доверительных интервалов можно воспользоваться таблицами для мощностей - критерия [Pearspn Е. S., Hartley (1951)]. Могут быть использованы также таблицы

С другой стороны, для построения приближенных -процентных доверительных интервалов распределение величины (6.2.15) можно определять из центрального -распределения со степенями свободы

    (6.2.20)

и 2 (n — k). Такую аппроксимацию нецентрального -распределения приводят Abramowitz, Stegun (1964); см. также Laubscher (1960).

В случае точные границы доверительных -процентных интервалов можно определить, заметив, что

    (6.2.21)

имеет -распределение. Интересно, что эта процедура тесно связана с проблемой Кризи—Филлера [Fieller (1954) и Halperin (1967)]. Описанные выше две процедуры построения точных доверительных интервалов приводят Groves, Hannan (1968).

Если доверительные интервалы требуются одновременно для нескольких компонент а, то можно определять их, исходя из обобщения многомерного -распределения на комплексный случай. Многомерное комплексное -распределение обсуждается в работе Dunnett, Sobel (1954); см. также Gupta (1963а), Kshirsagar (1961), Dickey (1967). Тем не менее приведем определение комплексного -распределения. Пусть z имеет распределение (0, 1), а не зависящая от величина имеет распределение. Тогда имеет комплексное -распределение с степенями свободы. Если то плотность этой величины задается выражением

    (6.2.22)

. Здесь мы сошлемся на Hoyt (1947).

1
Оглавление
email@scask.ru