7.9. Изучение рядов, встречающихся в планировании эксперимента

В некоторых случаях индекс r-мерного векторного ряда может иметь собственную структуру, как это бывает в случае рядов, встречающихся в планировании эксперимента. Рассмотрим, например, случай

сбалансированной однофакторной классификации, где К рядов распределяются по J классам. Здесь, по-видимому, уместно ввести обозначение для ряда, который может возникнуть, если образовать J групп реализаций и выбрать К реализаций в каждой группе. Если нас интересует однородность реализаций, то можно, обозначив положение от начала, выбранного для всего набора реализаций, буквой t, рассматривать значения реализации из группы как процесс положения t. Модель, которая может оказаться подходящей для этого случая, зададим следующим образом:

    (7.9.1)

где — константа; ряд является стационарным рядом с нулевым средним и спектром мощности также стационарные ряды с нулевыми средними и спектрами мощности наконец, являются для стационарными рядами, каждый из которых имеет нулевое среднее и спектр мощности Параметр соответствует среднему значению всех реализаций. Ряд a является общим для всех реализаций, а ряды отвечают эффектам группы, если такие индивидуальные эффекты существуют. Они являются общими для всех реализаций группы. Ряды , представляют собой ряды ошибок. Пользуясь терминологией, принятой для моделей со случайными эффектами в планировании эксперимента [Scheffe (1959)], мы назовем компонентами спектра мощности частоты X. Спектр может быть назван межгрупповым спектром мощности частоты внутригрупповым спектром мощности частоты X.

Используя введенные предположения, заметим, что а спектр мощности и кросс-спектр задаются выражениями

    (7.9.2)

Как нетрудно видеть, когерентностью между рядами, соответствующими реализациям, выбранным из одной группы, будет служить величина

    (7.9.5)

Ее можно назвать когерентностью между классами частоты X. Когерентность между рядами, соответствующими реализациям, выбранным из разных групп, как нетрудно видеть, равна

Иногда может быть интересным вопрос о том, в какой мере связаны реализаций из одной группы по частоте X. Одним примером такой меры может служить когерентность (7.9.5). В экстремальном случае, когда тождественно равны нулю, эта мера равна нулю. Другой крайний случай, когда «V дает для этой меры значение 1. Обратимся к задаче оценивания .

Мы видим, что модель (7.9.1) приводит к соотношению

    (7.9.6)

где

    (7.9.7)

а величины определяются аналогично. Как следует из теоремы 4.4.2, величины асимптотически распределены как , величины асимптотически независимы и распределены как при наконец, величины асимптотически независимы для и имеют предельные распределения Таким образом, модель (7.9.6) можно приближенно считать моделью случайных эффектов в дисперсионном анализе при сбалансированной однофакторной классификации; см. Scheffe (1959). Это приводит нас к вычислению статистики

и оценке посредством

    (7.9.9)

Мы оценим посредством

    (7.9.10)

и, наконец, посредством

в случае .

Теорема 7.9.1. Пусть рядов заданы выражением (7.9.1), где являются независимыми рядами со средним 0, удовлетворяющими условию 2.6.1 и имеющими спектры мощности соответственно. Пусть заданы формулами (7.9.9) — (7.9.11). Тогда при эти статистики являются асимптотически независимыми величинами с предельными распределениями . Кроме того, для таких целых , что при при для достаточно больших Т, статистики являются асимптотически независимыми величинами.

Как следует из теоремы 7.9.1, оценка

    (7.9.12)

спектра (А) распределена асимптотически как, разность двух независимых -переменных. Из нее следует также, что отношение

асимптотически распределено как

при . Этот последний результат может быть использован для построения доверительных интервалов отношения спектров

Как мы видели раньше, часто выгодно пользоваться осреднением периодограмм статистик. То же справедливо и в данном контексте. Для целых таких, что близко к рассмотрим статистики

и

    (7.9.16)

Как следует из теоремы 7.9.1, эти статистики независимы и асимптотически распределены как соответственно.

Приступим теперь к обсуждению приложений к временным рядам, встречающимся в более сложных ситуациях при планировании эксперимента. Вычисления и асимптотические распределения получаются аналогично в случаях моделей нормальных случайных эффектов в рассматриваемом планировании. Shumway (1971) рассматривал модель

    (7.9.17)

где представляет собой фиксированный неизвестный сигнал и — ряд, являющийся случайным шумом. Им было предложено рассматривать F отношений, вычисляемых в области определения частот. Brillinger (1973) рассматривал модель (7.9.1) также в том случае, когда ряды фиксированы, и случай, в котором задаются кратковременные ряды.