8.10. Оценки коэффициентов фильтра

Допустим, что -мерный ряд (8.1.1) удовлетворяет соотношению

    (8.10.1)

, в котором , — стационарный ряд, не зависящий от . В соответствии с теоремой 8.3.1 рассмотрим зависящие от времени коэффициенты

    (8.10.2)

где

Пусть — рассматривавшаяся в этой главе оценка Для оценки а можно использовать статистику

    (8.10.3)

где — последовательность целых чисел, стремящаяся при

Можно было бы предположить, что распределение центрировано вблизи

    (8.10.4)

Обсуждение результата теоремы 7.4.2 показывает, что распределение сосредоточено вблизи

    (8.10.5)

если параметры мало меняются на промежутках длины . Выражение (8.10.5) можно переписать в виде

    (8.10.6)

тогда оно будет близко к интересующему нас если коэффициенты фильтра достаточно быстро убывают . Это замечание наводит на мысль, что в данном случае особенно полезной должна оказаться предварительная фильтрация.

Занявшись затем вторыми моментами, можно ожидать на основании (8.7.1), что

при условии, что не слишком велико. В действительности справедлива

Теорема 8.10.1. Пусть -мерный ряд (8.1.1) удовлетворяет (8.10.1), причем для независимых рядов выполнено условие 2.6.2 (1). Предположим еще, что невырожденна и имеет ограниченную. вторую производную. Пусть W (а) удовлетворяет условию 6.4.1. Определим формулой (8.6.5) и формулой (8.10.3), . Если при некотором , то величины асимптотически совместно нормальны, имеют средние (8.10.4) и ковариации (8.10.7).

Заметим, что в первом порядке асимптотическая ковариационная матрица для не зависит от . Можно было бы оценить ее величиной

    (8.10.8)

где определена в (8.6.8). Если обозначает , а

то можно выписать такой приближенный -процентный доверительный интервал для

    (8.10.10)

Если положить то асимптотическая дисперсия будет порядка

Hannan (1967а) рассмотрел оценку а в случае, когда при достаточно больших v, и для ряда ошибок являющегося линейным процессом. Wahba (1966, 1969) рассматривал гауссовский случай при фиксированном Р.

Представляют также интерес и оценки с наименьшим квадратичным уклонением, полученные минимизацией суммы квадратов

при некоторых . К изучению этих оценок приходим, рассматривая модель

    (8.10.12)

Здесь мы предполагаем, что — неизвестный -мерный вектор; а — неизвестная -матрица; - наблюдаемый стационарный -мерный векторный ряд, а — ненаблюдаемый стационарный -мерный ряд ошибок, имеющий матрицу спектральной плотности . Ряд предполагается наблюдаемым. Если в нашем распоряжении имеется отрезок значений

    (8.10.13)

то возникает задача оценить Рамки модели (8.10.12) шире, чем могло бы показаться на первый взгляд. Например, возьмем модель

    (8.10.14)

где — это стационарный -мерный векторный ряд, а ряд независимый от него и стационарный. Можно придать этой модели форму (8.10.12), полагая по определению

    (8.10.15)

и

    (8.10.16)

Введенные матрицы имеют размеры соответственно. Частным случаем модели (8.10.14) является схема авторегрессии -

    (8.10.17)

в которой является процессом белого шума с нулевым средним. Поэтому приведенные ниже результаты можно использовать для получения оценок и их асимптотических свойств для моделей (8.10.14) и (8.10.17).

Располагая набором значений (8.10.13), получаем оценки величин и а, имеющие наименьшее квадратичное уклонение:

    (8.10.18)

и

    (8.10.19)

В качестве оценки можно рассмотреть

    (8.10.20)

где является остатком, определяемым формулой

    (8.10.21)

Для этих оценок справедлива

Теорема Пусть -мерный векторный ряд представим в виде (8.10.12), где -мерный ряд удовлетворяющий условию 2.6.1, имеет аетоковариационную функцию матрицу спектральной плотности и где — независимый с -мерный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1, с матрицей спектральной плотности и -матрицы размера Пусть определены согласно (8.10.18) и (8.10.19), задается формулой (8.10.20), где — удовлетворяет условию 5.6.1 и ВТТ при Тогда распределена асимптотически как величина асимптотически независима и распределена как

Кроме того, асимптотически независима и нормально распределена с

и

    (8.10.23)

Асимптотическое распределение для g (1) оказывается тем же самым, что для - введенной непосредственно по ряду ошибок . В случае модели (8.10.14) предельные распределения будут вовлекать параметры

    (8.10.24)

и

    (8.10.25)

Если является белым шумом с матрицей спектральной плотности то теорема 8.10.2 показывает, что будет асимптотически нормальным со средним и ковариационной матрицей Отсюда получается асимптотическое распределение для оценок параметров в схеме авторегрессии, имеющих наименьшее квадратичное уклонение. В § 6.12 мы рассмотрели соответствующие результаты для фиксированного ряда X (t). Можно было бы рассмотреть здесь и аналог «наилучшей» линейной оценки (6.12.11).