4.2. Комплексное нормальное распределение

Если X — случайный вектор с действительными компонентами, имеющий нормальное распределение со средним и ковариационной матрицей , то условимся писать, что X имеет распределение . На протяжении всей книги нам часто придется рассматривать случайные векторы X, имеющие

комплексных компонент. Мы скажем, что такой вектор X имеет распределение если сопоставленный ему вектор с действительными компонентами

имеет распределение

где некоторый -компонентный комплексный вектор, a — эрмитова неотрицательно определенная -матрица. В этом случае говорят также, что X является комплексной многомерной нормально распределенной величиной со средним ковариационной матрицей При этом

    (4.2.3)

и

Отметим, что для класса комплексных векторных случайных величин, действительная и мнимая части которых имеют совместное многомерное нормальное распределение, справедливо свойство: если матрица (4.2.4) диагональна, то компоненты вектора X будут статистически независимы, см. упр. 4.8.1. Различные свойства нормального распределения рассмотрены в статьях: Wooding (1956), Goodman (1963), James (1964); см. также упр. 4.8.1-4.8.3. Упомянем следующее свойство. Если матрица не вырождена, то дифференциал распределения вероятности вектора X дается формулой

    (4.2.6)

для . В случае если X имеет распределение , то величины независимы и имеют соответственно распределения

Переходя к другому классу величин, предположим, что независимы и имеют распределение Тогда говорят, что -матричная функция

    (4.2.7)

имеет распределение Уишарта размерности степенями свободы. Это условие записывается так: W имеет распределение . С другой стороны, если независимые величины с распределением , то говорят, что -матричная случайная величина

    (4.2.8)

имеет комплексное распределение Уишарта размерности степенями свободы. В этом случае пишем, что X распределена как Комплексное распределение Уишарта ввел Goodman (1963). Свойствам этого распределения посвящены упр. 4.8.4-4.8.8; см. также Srivastava (1965), Gupta (1965), Kabe (1966, 1968), Saxena (1969) и Miller (1968, 1969). Плотность этого распределения имеет вид

здесь . В числе других свойств отметим следующие:

    (4.2.10)

и

    (4.2.12)

Комплексное распределение Уишарта будет полезно при построении аппроксимаций для распределений оценок матрицы спектральной плотности.

В последних главах книги нам понадобится понятие асимптотической нормальности. Говорят, что -компонентная векторная последовательность имеет асимптотически нормальное распределение если последовательность сходится по распределению к . Говорят также, что - компонентная векторная последовательность имеет асимптотически нормальное распределение если последовательность сходится по распределению к .