8.6. Класс состоятельных оценок

В этом параграфе мы построим общий класс оценок параметров, введенных в § 8.3. Предположим известными значения

. Введем согласно (8.4.2). Определим матрицу кросс-периодограмм

    (8.6.2)

аналогично определяется и . Пусть весовая функция, удовлетворяющая условию 5.4.1. Оценим матрицу спектра второго порядка

посредством

    (8.6.4)

приняв во внимание эвристическую оценку (8.4.5); оценим величиной

    (8.6.5)

В общем случае элементы матрицы будут комплексными. Иногда могут представлять интерес не сами элементы, а их модули и аргументы Основываясь на указанной оценке, возьмем

    (8.6.6)

и

при . Оценим матрицу (спектральной плотности ошибки величиной

    (8.6.8)

а частную когерентность оценим величин

При оцениваем множественную когерентность — посредством

Различные оценки оказываются выборочными аналогами соответствующих величин, подлежащих оценке.

Относительно асимптотических моментов первого порядка для различных статистик справедлива

Теорема 8.6.1. Пусть -мерный ряд (8.6.1) удовлетворяет условию 2.6.2 (1) и имеет матрицу спектральной плотности (8.6.3). Предположим, что матрица невырожденна. Пусть W (а) удовлетворяет условию 5.6.1, и пусть статистики определяются формулами (8.6.5)-(8.6.9). Тогда если при , то

    (8.6.11)

и

    (8.6.14)

Если

    (8.6.15)

В каждом случае асимптотические средние различных статистик получаются нелинейными усреднениями параметров, представляющих интерес, с матричными весами. Асимптотическое смещение поэтому будет зависеть от того, насколько близки к постоянным эти усредненные значения в окрестности к. В пределе имеет место

Следствие 8.6.1. При выполнении условий теоремы 8.6.1

    (8.6.16)

а при

    (8.6.17)

Указанные оценки являются асимптотически несмещенными, т. е. несмещенными в расширенном понимании. Мы можем построить разложения асимптотических средних по степеням ВТ, см. упр. 8.16.25. Рассматривая такие выражения, можно сделать важное наблюдение: чем ближе к 0 производные спектров второго порядка генеральной совокупности, тем меньше асимптотическое смещение". Nettheim (1966) получил разложение по степеням в гауссовском случае.

Оценки рассмотренных нами параметров изучали Goodman (1965), Akaike (1965), Wahba (1966), Parzen (1967a-с),

Jenkins, Watt (1968). Случай r=s=1 рассматривали Goodman (1957), Tukey (1959a, b), Akaike, Yamanouchi (1962), Jenkins (1963a, b), Akaike (1964), Granger (1964) и Parzen (1964).