4.6. Представление Крамера

В § 3.9 были получены два спектральных представления для временных рядов, рассматривавшихся в рамках функционального подхода, а в этом параграфе мы получим спектральное представление при стохастическом подходе к анализу временных рядов. Это представление было введено Крамером [Cramer (1942)].

Пусть есть -компонентный ряд. Рассмотрим множитель сходимости

    (4.6.1)

и соответствующее конечное преобразование Фурье

    (4.6.2)

Это преобразование будет играть основную роль при выводе нужного нам представления. Положим

    (4.6.3)

Тогда

если считать, что

    (4.6.5)

Пусть

    (4.6.6)

будет - периодическим расширением дельта-функции Дирака. После введения этих обозначений мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема 4.6.1. Пусть ряд , удовлетворяет условию 2.6.1, и пусть задается формулой (4.6.4). Тогда существует , татя что сходится к в среднем порядка v для любого положительного v. Кроме того, и

    (4.6.7)

Соотношение (4.6.7) можно переписать в дифференциальной форме:

    (4.6.8)

Выражение (4.6.8) показывает, что

    (4.6.9)

где обозначает матрицу спектральной плотности ряда . Приращения ортогональны, кроме тех случаев, когда . Далее, совместные кумулянты приращений будут очень малы, кроме случаев . Приращения ведут себя примерно так же, как величина рассмотренная в § 4.3.

В теореме 4.6.2 нам встретится стохастический интеграл вида

    (4.6.10)

Если

    (4.6.11)

то этот интеграл определяется как предел в среднеквадратическом:

Cramer, Leadbetter (1967, § 5.3). Теперь мы можем ввести представление Крамера ряда

Теорема 4.6.2. При выполнении условий теоремы 4.6.1 с вероятностью 1

    (4.6.13)

при этом удовлетворяет условиям и обладает свойствами, указанными в теореме 4.6.1.

Иногда бывает удобнее переписать (4.6.13) в виде, использующем переменные с действительными компонентами. Положим

Для этих функций

и

Если воспользоваться равенствами

то из формулы (4.6.8) получим

    (4.6.18)

где суммирование ведется по всем . В случае к из этих соотношений вытекает

    (4.6.19)

Представление Крамера (4.6.13) можно тогда записать в таком виде:

Преобразование Крамера особенно удобно использовать для того, чтобы понять, каков эффект применения той или иной операции к интересующему нас ряду. Рассмотрим, например, профильтрованный ряд

    (4.6.23)

предполагая, что для ряда справедливо представление Крамера (4.6.13). Если для функции

    (4.6.24)

существует интеграл

    (4.6.25)

то

    (4.6.26)

В дифференциальной форме последнее соотношение можно записать так:

    (4.6.27)

В качестве примера применения формулы (4.6.27) отметим, что она вместе с равенством (4.6.9) сразу дает соотношение

    (4.6.28)

полученное в § 2.8.

Предположим, что к каждой компоненте ряда применяется фильтр, пропускающий определенную полосу частот, который имеет передаточную функцию

    (4.6.29)

Пусть, далее, преобразование Крамера ряда можно записать в виде

    (4.6.30)

Тогда профильтрованный ряд можно представить следующим образом:

    (4.6.31)

подразумевается, что приближенное равенство имеет место при малых . Результат воздействия фильтра, пропускающего указанную полосу частот, состоит в выделении из преобразования Крамера гармонических колебаний, имеющих частоты, близкие к При малых ряд иногда называют компонентой частоты для ряда и обозначают как подчеркивая тем самым зависимость от и игнорируя зависимость от . Рассмотрим полный набор фильтров с взаимно исключающими полосами пропускания, имеющих следующие передаточные функции:

Тогда ряд может быть представлен в виде суммы своих частотных компонент:

    (4.6.33)

В дальнейшем мы увидим, что многие полезные статистические процедуры имеют характер элементарных воздействий на отдельные частотные компоненты изучаемых рядов.

Рассмотрим теперь результат применения преобразования Гильберта к каждой компоненте ряда Передаточная функция преобразования Гильберта, как мы знаем, задается формулой

    (4.6.34)

Если преобразование Крамера ряда записать в виде

    (4.6.35)

то сразу видно, что

    (4.6.36)

Гармонические колебания в этом представлении изменили фазу на . Для - компоненты частота ряда равенства (4.6.36) получаем, что

и поэтому

    (4.6.38)

Выражение (4.6.38) позволяет дать другую интерпретацию дифференциала , появляющегося в представлении Крамера.

Рассмотрим далее ковариационную матрицу -компонентного векторного ряда

    (4.6.39)

Элементарные выкладки показывают, что в случае она имеет вид

и в случае будет

    (4.6.41)

Эти соотношения полезны для интерпретации действительной и мнимой частей матрицы спектральной плотности временного ряда.

В качестве другого примера использования представления Крамера рассмотрим, какой вид можно придать с его помощью конечному преобразованию Фурье. Пусть

    (4.6.42)

где - некоторый множитель сходимости. Прямая подстановка показывает, что

    (4.6.43)

где

Из проводившегося ранее обсуждения свойств множителей сходимости можно заключить, что при больших Т функция сконцентрирована окрестности Следовательно, из формулы (4.6.43) получаем, что при больших Т функция (К) несущественно отличается от . В заключение отметим также, что формулы (4.6.8) и (4.6.43) влекут за собой точное равенство

    (4.6.45)

Полезно сравнить это равенство с асимптотическим выражением (4.3.8).

В действительности Cramer (1942) получил представление (4.6.13) при выполнении условий теоремы 2.5.2. В этом более

общем случае функция удовлетворяет соотношению

где обозначает -матричную функцию, существование которой вытекает из теоремы 2.5.2. Но интегральное представление в этом случае справедливо, только если интеграл понимается в среднеквадратическом смысле; можно получить этот результат, модифицировав доказательство теоремы 3.9.1.