5.6. Состоятельные оценки

В этом параграфе мы будем рассматривать оценки вида

    (5.6.1)

где - семейство весовых функций с периодом таких, что оценка (5.6.1) по существу включает ординат периодограмм в окрестности X. Для того чтобы получить оценку с дисперсией, стремящейся к нулю при , мы будем требовать, чтобы в противоположность постоянному m из § 5.5. Интервал частот, используемых оценкой (5.6.1), имеет длину таким образом, для того чтобы получить асимптотически несмещенную оценку, мы будем требовать, чтобы при Оценка наследует, свойства гладкости .

Удобным способом построения используемой в оценке (5.6.1) весовой функции со всеми нужными свойствами является введение масштабных множителей , таких, что когда и

    (5.6.2)

где - заданная функция, для которой выполнено

Условие 5.6.1. Функция где есть действительная четная функция ограниченной вариации, причем

    (5.6.3)

и

    (5.6.4)

Если мы выберем функцию W (Р) так, что для она принимает значение 0, то оценка (5.6.1) включает только те из взвешенных ординат периодограмм, частоты которых попадают в интервал . Следуя введению к этому параграфу, положим

Ввиду того что имеет период , то же самое будет справедливо и для . Аналогичным образом из соотношения следует . Согласно условию 5.6.1, оценка (5.6.1) может иметь отрицательные значения, однако если мы дополнительно предположим, что , то будет выполнено Ввиду (5.6.3) справедливо

Из (5.6.2) для получим выражение

    (5.6.5)

которое лучше объясняет структуру

Для больших Т сумма весов выражения (5.6.1) ввиду (5.6.3) должна быть близка к 1. Исследователь может потребовать от выражения (5.6.1) равенства суммы весов в точности 1. Это не изменит асимптотических выражений, приведенных ниже.

— Исследование математического ожидания величины по большим выборкам дает

Теорема 5.6.1. Пусть , действительный ряд, причем для . Предположим, что

    (5.6.6)

Пусть задается формулой (5.6.1). Тогда

    (5.6.7)

для — где W (Р) удовлетворяет условию 5.6.1. Остаточный член равномерен по X.

Как видно, математическое ожидание величины является взвешенным средним функции с весами, сконцентрированными в интервале, содержащем и имеющем длину, пропорциональную ВТ. Справедливо

Следствие 5.6.1. Если выполнены условия теоремы и при является асимптотически несмещенной оценкой для , т. е.

    (5.6.8)

Свойством асимптотической несмещенности обладала также и оценка § 5.5. Свойства моментов второго порядка оценок по большим выборкам выясняет

Теорема 5.6.2. Пусть - действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.2 (1). Пусть задается формулой (5.6.1), где удовлетворяет условию 5.6.1. Тогда

    (5.6.9)

Ниже, в следствии (5.6.2), мы будем использовать функцию

которая является периодическим продолжением дельта-функции Кронекера

    (5.6.11)

Следствие 5.6.2. Если выполнены условия теоремы 5.6.2 и при , то

    (5.6.12)

Из этого выражения при следует, что

Таким образом, в каждом из этих случаев стремится к нулю при . В следствии 5.6.1 мы видели, что если при , то и Поэтому оценка (5.6.1) при выполнении условий теоремы 5.6.2 обладает свойством

    (5.6.14)

если Такую оценку называют состоятельной в среднеквадратичном.

Заметим, что согласно выражению (5.6.13) дисперсия удваивается в точках Еще более информативно выражение (5.6.9). Оно показывает, что этот асимптотический эффект сохраняется в окрестностях точек размеры которых имеют порядок .

Из (5.6.12) следует, что асимптотически некоррелированы при Асимптотическое распределение исследует

Теорема 5.6.3. Пусть — действительный ряд, удовлетворяющий условию 2.6.1. Пусть задается формулой

(5.6.1), где удовлетворяет условию 5.6.1. Предположим, что . Тогда величины асимптотически нормальны и имеют ковариационную структуру, задаваемую формулой (5.6.12) при

Оценка, рассматриваемая в § 5.4, имела асимптотическое пределение, пропорциональное в условиях осреднения по конечному числу ординат периодограммы. В данном случае число осредняемых ординат периодограммы возрастает до вместе с Т, что, естественно, ведет к асимптотической нормальности оценки. Одним из интересных следствий теоремы является асимптотическая независимость когда Из теоремы вытекает

Следствие 5.6.3. В условиях теоремы 5.6.3 и в предположении, что , величина имеет асимптотически нормальное распределение, дисперсия которого задается формулами

Из этого следствия вытекает, что дисперсия слабо зависит от величины и от А, при больших Т. Таким образом, график значений может быть более показательным, чем график . В действительности это часто применяется в инженерной практике и было сделано для различных оценок спектра этой главы.

Состоятельные оценки спектра мощности были получены в работах: Grenander, Rosenblatt (1957), Parzen (1957, 1958). Эти же авторы, а также Blackman, Tukey (1958) исследовали асимптотическое среднее и дисперсию. Асимптотическую нормальность изучали в различных условиях. Rosenblatt (1959), Brillinger (1965b, 1968) Brillinger, Rosenblatt (1967a), Hannan (1970), Anderson (1971). Представляет интерес работа Jones (1962a).

В случае когда наблюдаемые величины предварительно сглаживаются во времени, аналогично теореме 5.6.3 справедлива

Теорема 5.6.4. Пусть , действительный ряд, удовлетворяющий условию — временное окно, удовлетворяющее условию 5.6.1. Пусть также W (а),

удовлетворяет условию 5.6.1. Положим

где

Положим

Пусть . Тогда имеют совместное нормальное распределение, причем

    (5.6.19)

и

По сравнению с выражением (5.6.12) предел дисперсии в сглаженном случае отличается от несглаженного случая множителем

    (5.6.21)

По неравенству Шварца этот множитель больше или равен 1. В случае когда мы используем сглаживание с помощью косинуса по первым и последним 10-процентным временным интервалам, величина этого множителя равна 1,116. Есть основания надеяться, что в большинстве ситуаций значительное уменьшение смещения в сглаженном случае будет с запасом компенсировать это возрастание дисперсии. В табл. 3.3.1 приведены некоторые полезные временные окна.