8.4. Эвристическая интерпретация параметров и построение оценок

Пусть -компонентный векторный ряд

удовлетворяет условию 2.6.1. Предположим, что нам известны его значения при . Вычислим конечное преобразование Фурье этих значений:

. Согласно теореме 4.2.2, при больших Т распределение этой случайной величины аппроксимируется распределением

если

Сославшись на обсуждение тёоремы 8.2.4, можно теперь заключить, что — комплексный коэффициент регрессии на на частоте можно интерпретировать в некотором приближении как комплексный коэффициент регрессии на Поэтому он оказывается полезным при предсказании значения по значению с помощью линейного анализа. Спектр ряда ошибок приближенно пропорционален ковариационной

матрице ошибки, связанной с этим прогнозом. Точно так же и частный» комплексный коэффициент регрессии на после удаления линейного воздействия, связанного с будет близок к коэффициенту регрессии на после удаления линейного воздействия . Теперь предположим, что s = 1. Величину — множественную когерентность на частоте можно в соответствии с теоремой 8.2.4 интерпретировать как комплексный аналог квадрата коэффициента множественной корреляции Наконец, частная когерентность после удаления линейного воздействия может быть истолкована как комплексный аналог частной корреляции после удаления линейного воздействия . В случае когда ряд (8.4.1) гауссовский, эти частные параметры будут приближенно условными параметрами при заданном значении .

Аналогичную интерпретацию можно предложить и при . В этом случае применяются статистики и распределения, имеющие действительные значения.

Обратимся далее к построению оценок различных параметров. Предположим, — целое число и величина близка к , причем . Согласно теореме 4.4.1, значения

являются приближенно независимыми реализациями величины (8.4.3). Используя выражение (8.2.50), предваряющее теорему 8.2.5, можно ввести статистики

    (8.4.6)

и

    (8.4.7)

две последние выступают в роли оценок для соответственно. Теорема 8.2.5 указывает приближения к распределениям

этих статистик. В § 8.6 мы рассмотрим более гибкий вариант (8.4.5), включив в сумму весовые множители.

Эвристические подходы к линейному анализу многомерных рядов содержатся в работах: Tick (1963), Akaike (1965), Groves, Hannan (1968). Параметры и оценки рассматривал Fishman (1969).

Мы можем также предложить интерпретацию параметров, введенных в § 8.3, основанную на частотных компонентах и их преобразованиях Гильберта Рвссуждения § 7.1 показывают, что ковариационная матрица величины

приблизительно пропорциональна

Далее,

    (8.4.10)

поэтому

Теперь ясно, что можно интерпретировать как коэффициент, соответствующий , в регрессии на

Точно так же можно интерпретировать как коэффициент, отвечающий , в той же регрессии.

Ковариационная матрица для ошибки этого регрессионного анализа такова:

    (8.4.13)

Тем самым оказывается, что действительные части частных когерентностей можно интерпретировать как частные корреляции, фигурирующие в регрессии на величину (8.4.12). Аналогичное рассуждение для мнимых частей приводит к интерпретации ил как частных корреляций, фигурирующих в регрессии на величину (8.4.12).

Если то квадрат коэффициента множественной корреляции регрессии на величину (8.4.12) равен

    (8.4.14)

Поэтому коэффициент множественной когерентности можно интерпретировать как квадрат коэффициента множественной корреляции с выражением (8.4.12).

Завершим параграф описанием нескольких полезных параметров. В общем случае величины, являются комплексными, но практически может быть удобно работать с действительными параметрами или с модулем и аргументом . Рассмотрим случай Величина называется приростом амплитуды по сравнению с на частоте X. Функция G (X) неотрицательна,

    (8.4.15)

и

    (8.4.16)

Если

    (8.4.17)

то

    (8.4.18)

Выражение (8.4.18) показывает происхождение термина „прирост". Амплитуда компоненты на частоте отличается от амплитуды соответствующей компоненты множителем

Взяв в качестве примера получим

    (8.4.19)

В данном случае прирост — это абсолютное значение коэффициента регрессии, оно постоянно для всех А.

Функция называется фазой между на частоте А. Главной областью изменения функции является промежуток . Поскольку функция определяется формулой

    (8.4.20)

Так как

    (8.4.21)

то . Кроме того,

    (8.4.22)

Пусть

    (8.4.23)

Применим преобразование Крамера:

    (8.4.24)

Тем самым можно интерпретировать как фазовый угол между компонентой с частотой А и соответствующей компонентой ряда

Если, например, , то

    (8.4.25)

и

Графики этих двух функций изображены на рис. 8.4.1 и 8.4.2, причем в качестве области изменения выбран промежуток .

Рис. 8.4.1. Фазовый угол Ф (X), соответствующий запаздыванию на и единиц времени, в случае

Рис. 8.4.2. Фазовый угол соответствующий запаздыванию на и единиц времени, в случае

В ряде случаев легче интерпретировать функцию

    (8.4.27)

Она называется групповым запаздыванием по сравнению с на частоте X.

В рассмотренном примере при всех значениях а групповое запаздывание равно и. Иными словами, на такой промежуток времени запаздывает по сравнению с

Отметим, что групповое запаздывание определено однозначно, в то время как определяется только с точностью до слагаемого, кратного