3.3. Множители, улучшающие сходимость

Fejer (1900, 1904) обнаружил, что даже непрерывные функции могут плохо приближаться частными суммами рядов Фурье. Поэтому вместо частных сумм (32.4) он предложил рассматривать следующие:

    (3.3.1)

Используя выражение (3.2.2) и упр. 1.7.12, можно переписать (3.3.1) в виде

График функции

изображен на рис. 3.3.1 при . Легко видеть, что эта функция неотрицательна, сосредоточена в окрестности точки и, согласно упр. 1.7.12, такова, что

    (3.3.4)

Она более плавно изменяется, чем функция (3.2.6), и ее график меньше «пульсирует». Эта большая регулярность приводит к тому, что функции, задаваемые формулой (3.3.2), сходятся к , когда непрерывна, хотя в то же самое время (3.2.5) может и не сходиться к ; Edwards (1967, стр. 87), Введение в выражение (3.3.1) множителя привело к расширению

Рис. 3.3.1. График функции

класса функций, которые могут быть хорошо представлены тригонометрическими рядами.

В общем случае мы можем рассматривать выражения вида

    (3.3.5)

— некоторая функция, такая, что при Множитель появляющийся в (3.3.5), называется множителем сходимости; Moore (1966). Положим

тогда (3.3.5) можно переписать как

    (3.3.7)

т. е. как взвешенное, среднее интересующей нас функции.

Было предложено очень много различных множителей сходимости . Некоторые из них вместе с соответствующей функцией приведены в табл. 3.3.1. Типичное поведение таково: максимум, равный 1, при а дальше неуклонное убывание к при возрастании от 0 до . Множители сходимости также назывались окнами просмотра данных и коэффициентами сглаживания.

Таблица 3.3.1. Некоторые множители, улучшающие сходимость

(см. скан)

Продолжение табл. 3.3.1. (см. скан)

Характерный вид весовой функции таков, что она становится все более сконцентрированной в окрестности нуля при . Как и следовало ожидать, из (3.3.6) вытекает

    (3.3.8)

Рассмотрение выражения (3.3.7) наводит на мысль, что для некоторых целей желательно выбирать неотрицательной. Функции, фигурирующие во второй и третьей строках табл. 3.3.1, обладают этим свойством. Функция получила название частотного окна или ядра. Из (3.3.7) мы видим, что близость функцди (3.3.5) к связана со степенью сосредоточения в окрестности Предлагались различные меры этой концентрации, т. е. ширины полосы пропускания. Press и Tukey (1956) предложили использовать ширину полосы, отвечающей половинной мощности, равную где — соответственно первая положительная и первая отрицательная точки, в которых Grenander (1951) предложил в качестве такой меры величину

    (3.3.9)

Это не что иное, как среднеквадратическая ошибка, или отклонение от нуля, если рассматривать как плотность вероятностного распределения на . Parzen (1961) предложил такую меру концентрации:

    (3.3.10)

Это ширина, прямоугольника, имеющего ту же высоту, что и максимум и площадь, равную 1.

Особенно удобная в обращении мера задается формулой

    (3.3.11)

Среди ее свойств отметим, в частности, следующее: если обладает второй производной h(0) в точке , то

что показывает связь этой меры с мерой Гренандера (3.3.9). С другой стороны, если ядро является сверткой ядер , то можно показать, что при больших

Отметим также, что если для некоторого как предполагал Parzen (1961), существует

    (3-314)

то

    (3.3.15)

В табл. 3.3.2 приведены значения для ядер, рассмотренных в табл. 3.3.1. С помощью этой таблицы можно составить представление об относительной асимптотической концентрации различных ядер.

Следующая теорема дает другое средство исследования степени приближения функции суммами вида (3.3.5).

Теорема 3.3.1. Предположим, что имеет ограниченные производные вплоть до порядка Р и функция

    (3.3.16)

такова, что для некоторого конечного К

    (3.3.17)

Тогда

    (3.3.18)

Таблица 3.3.2. Концентрация в окрестности для различных ядер

По формуле (3.3.18) можно судить о том, как близость (3.3.5) к зависит от применяемого множителя сходимости. Желательно по возможности выбрать h так, чтобы интегралы

равнялись нулю для . Если , то так будет для всех нечетных . Требование обращения в нуль для четных эквивалентно тому, чтобы график был очень плоским в окрестности этом отношении примечательна последняя функция табл. 3.3.1.

Вообще говоря, выбор оптимальной функции зависит от конкретного вида интересующей нас функции . Имеется развитая математическая теория наилучшего приближения функций тригонометрическими полиномами, см., например, Ахиезер (1947) или Тиман А. Ф. (I960). Bohman (1960) и Akaike (1968) исследовали множители сходимости, пригодные для приближения широкого класса функций, см. также Тиман М. Ф. (1962), Shapiro (1969), Hoff (1970), Butzer, Nessel (1971).

Wilkins (1948) привел асимптотические разложения вида (3.3.18), которые справедливы при менее ограничительных условиях.

В качестве применения материала, изложенного в этом параграфе, обратимся к задаче конструирования фильтра. Допустим, мы хотим определить зависящие от времени коэффициенты , и фильтра, имеющего заданную передаточную функцию А (X). Связь между выражается формулами

    (3.3.20)

Фильтр, как мы знаем, имеет вид

    (3.3.22)

где исходный ряд. Вообще говоря, коэффициенты а не обращаются в нуль при больших в то время как практически нам доступен лишь конечный отрезок наблюдений Это создает трудности для применения формулы (3.3.22). Можно поэтому поставить такую задачу: построить фильтр конечной длины, использующий конечное число наблюдений и имеющий передаточную функцию, близкую к Ее можно переформулировать как задачу отыскания таких множителей что сумма

    (3.3.23)

близка к Именно этот вопрос обсуждался выше.

Допустим, мы хотим аппроксимировать низкочастотный фильтр с усечением частот, превышающих по модулю т. е. желаем аппроксимировать передаточную функцию

    (3.3.24)

. Коэффициенты этого фильтра

Предыдущие рассуждения подсказывают, что имеет смысл рассмотреть фильтр, например, такого вида:

    (3-3-26)

где — некоторый множитель сходимости.

Предположим теперь, что мы хотим практически реализовать вычисление преобразования Гильберта, введенного в § 2.7. Передаточная функция этого фильтра такова:

    (3.3.27)

и, следовательно, коэффициентами фильтра будут

    (3.3.28)

Допустим нечетно. Тогда мы приходим к рассмотрению фильтров вида

    (3.3.29)

На рис. 3.3.2 изображены для мнимая часть идеальной функции задаваемой формулой (3.3.27), и мнимые части приближений к , вычисленных, согласно (3.3.29), при для различных множителей сходимости, взятых из табл. 3.3.1. В силу симметрии рассматриваемых функций достаточно изображать их лишь в указанной частотной области. Приведенные графики показывают важность введения множителей сходимости, а также и то, каким образом различные коэффициенты сглаживания влияют на результат.

Вопросы построения численных методов для нахождения фильтров рассматривались в работах: Kuo, Kaiser (1966), Wood (1968); см. также IEEE Trans. Audio Electro. (1968). Goodman (I960) исследовал численные реализации преобразования Гильберта и фильтров, пропускающих определенные полосы частот. В § 3.6 мы обсудим способы быстрого вычисления профильтрованного ряда . Различные аспекты вопросов, разобранных в этом параграфе, рассмотрел Parzen (1963).

(см. скан)

Рис. 3.3.2. Мнимая часть передаточной функции преобразования Гильберта и ее различные аппроксимации, построенные с помощью множителей, улучшающих сводимость, при