6.7. Асимптотическая нормальность оценок

Теперь обратимся к изучению асимптотических распределений оценок в предельном случае при

Теорема 6.7.1. Пусть удовлетворяет условию 2.6.1 и имеет среднее 0. Пусть также

удовлетворяет условию 6.5.2, и задается выражением (6.1.1), в котором для выполнено условие Предположим, что удовлетворяет условию 6.5.1. Если при то асимптотически имеют совместное нормальное распределение с ковариационной структурой, заданной выражениями (6.6.3), (6.6.11) и (6.6.14). Наконец, асимптотически не зависит от этих переменных и имеет дисперсию (6.6.13).

Из выражения (6.6.14) мы видим, что в указанных выше условиях асимптотически независимы для всех Я и Из выражения (6.6.3) видно также, что асимптотически независимы, если Как следует из упр. асимптотически независимы. Все эти отдельные случаи асимптотической независимости согласуются с интуитивно подсказанным теоремой 6.2.4.

Теорема показывает, что имеет асимптотическое распределение

    (6.7.1)

если имеет вид (6.6.6). Этим результатом мы воспользуемся позднее для получения доверительных областей .

Следуя теореме Mann, Wald (1943 а), получим

Следствие 6.7.1. В условиях теоремы асимптотически нормальны и имеют ковариационную структуру, заданную выражениями для .

Заметим, в частности, что в указанных условиях асимптотически независимы.

Асимптотическое распределение в этой теореме становится таким же, как в теореме 6.4.2, как только выполняется равенство

Асимптотическое распределение находится в соответствии с теоремой 6.4.2, поскольку в случае, когда (6.7.2) велико, -распределенная переменная имеет большое число степеней свободы и близка к нормальной.