8.5. Предельное распределение оценок

В этом параграфе мы определим предельное распределение оценок, введенных в предыдущем параграфе, при но при фиксированном . Пусть

    (8.5.1)

так что

Введем

Пусть m — неотрицательное целое число и — такая последовательность целых чисел, что при Следуя § 7.3, полагаем

Теперь построим оценки

    (8.5.5)

где

При больших выполняется и определение (8.5.6) упрощается. Образуем также

    (8.5.8)

при и, если введем

Теорема 8.5.1. Пусть ряд (8.5.1) удовлетворяет условию 2.6.1 и имеет матрицу спектральной плотности (8.5.2). Предположим, что в оценке (8.5.4) этой матрицы целые числа и при Пусть матрица

распределена по закону при и по закону при Тогда сходятся по распределению к соответственно. Кроме того, сходится к и при величина сходится к

Плотность предельного распределения для можно вывести из (8.2.57) и (8.2.34). Она приведена в работе Wahba (1966) для случая . Более полезен результат, основанный на следующем наблюдении: для любого -мерного вектора а

имеет предельное распределение в случае Аналогичные результаты справедливы в случае

Из упр. 4.8.8 вытекает, что при условиях теоремы 8.5.1 величина асимптотически имеет распределение , если и распределение если . Она также асимптотически не зависит от . Отметим, что, согласно теореме 7.3.3, асимптотическое распределение аналогично по своей сути асимптотическому распределению спектральной оценки, основанной непосредственно на значениях только в нашем случае надо параметр заменить на

Частные когерентности получаются непосредственно по матрице Из предыдущих замечаний мы делаем вывод, что при условиях теоремы 8.5.1 их асимптотическое распределение то же самое, что и для безусловных когерентностей, если заменить параметр на Для векторных нормальных величин этот результат отметил Fisher (1928). Распределение для одного дается формулами (8.2.32) и (8.2.55) при

Обратившись к асимптотическому разложению коэффициента множественной когерентности в случае полагаем

Тогда предельное распределение величины будет определяться формулой (8.2.32), где если , и (8.2.55), где если к .

Указанное выше предельное распределение для когерентностей обнаружил Goodman (1963); см. также Goodman (1965), Khatri (1965), Groves, Hannan (1968). Enochson, Goodman (1965) исследовали точность приближения распределения величины нормальным распределением со средним

    (8.5.12)

и дисперсией . По-видимому, это неплохое приближение.