2.11. Функциональный и стохастический подходы к анализу временных рядов

При исследовании временных рядов широко применяются два различных подхода, а именно стохастический и функциональный.. Первый из них, обычно используемый вероятностниками и статистиками [Doob (1953), Cramer, Leadbetter (1967)], изложен в § 2.2. Данный временной ряд при таком подходе рассматривается как результат случайного выбора из некоторой совокупности возможных рядов. Пусть в нашем распоряжении имеется множество векторных функций с компонентами. После того как на определена вероятностная мера, мы получаем случайную функцию значениями которой являются заданные функции . С другой стороны, для данной можно взять в качестве индекса и считать состоящим из таких элементов 0. Затем можно положить Но в любом случае придется иметь дело с теорией меры и вероятностными пространствами.

Во втором подходе -компонентный временной ряд интерпретируется как неслучайная функция из основного множества функций вида , где — заданная векторная функция с компонентами. Этот подход, носящий название обобщенного гармонического анализа, изложен, например, в работе Wiener (1930).

С точки зрения теоретиков различие указанных подходов состоит в том, какие математические средства используются и какие предельные процессы вовлекаются в рассмотрение.

Допустим, что имеет компоненты . При функциональном подходе мы предполагаем, что существуют пределы вида

    (2.11.1)

Свойство стационарности в этом случае будет выглядеть как существование пределов

    (2.11.3)

не зависящих от v при Определим теперь кросс-ковариационную функцию формулой

    (2.11.5)

Если

    (2.11.6)

то, как в § 2.5, можно определить спектр второго порядка . Предположим, что функции таковы, что для действительных функция т. е. доля тех t в промежутке , для которых

    (2.11.7)

стремится к пределу (в точках непрерывности этой функции) при выполнено условие компактности, имеющее вид

    (2.11.8)

для всех S, Т и некоторого

В этом случае представляет собой симметричное и согласованное семейство конечномерных распределений, и по теореме Колмогорова это семейство можно связать с распределениями некоторого случайного процесса [Doob (1953)]. Предел в зависит лишь от — и потому случайный процесс с такими конечномерными распределениями является строго стационарным. Если в будет и к, то

    (2.11.9)

т. е. имеет смысл вводить в рассмотрение . Этот процесс будет удовлетворять условию 2.6.1, если функции кумулянтного типа, полученные для X (t), удовлетворяют (2.6.1).

Другими словами, если функция (при функциональном подходе] удовлетворяет определенным условиям регулярности, то имеется строго стационарный процесс, анализ которого будет эквивалентен исследованию указанной функции.

Обратно, если эргодичен (метрически транзитивен), то с вероятностью 1 любая выборочная функция обладает требуемыми предельными свойствами и может быть взята за основу при функциональном подходе.

Таким образом, имеет место

Теорема 2.11.1. Если векторная функция с компонентами удовлетворяет приведенным выше условиям , то с ней может быть связан стационарный случайный процесс, обладающий теми же предельными свойствами. Обратно, если стационарный процесс эргодичен, то с вероятностью 1 любая его выборочная функция может быть взята за основу при функциональном подходе.

Эти два подхода прямо сопоставимы с двумя подходами к статистике, где за основные объекты рассмотрения выбираются либо коллектив [Von Mises (1964)], либо измеримые функции [Doob (1953)], см. также Von Mises, Doob (1941).

Условие, что процесс эргодичен, не окажется чрезмерно ограничительным для целей нашего исследования, поскольку процесс будет эргодическим, если он удовлетворяет условию 2.6.1 и определяется своими моментами; см. Леонов (1960). Заметим также, что общий стационарный процесс является смесью эргодических процессов (Розанов ; ассоциированный с семейством конечномерных распределений стационарный процесс (процедура получения которого описана выше) будет соответствовать некоторой компоненте смеси. Пределы в будут существовать с вероятностью 1; однако они, вообще говоря, являются случайными величинами.

Wold (1948) рассматривал соотношение между функциональным и стохастическим подходами в случае конечных моментов второго порядка.

Заметим также, что соотношения (2.11.1) и (2.11.2) вытекают при определенных условиях из существования пределов в (i); см. Wintner (1932).

Мы вернемся к рассмотрению функционального подхода к анализу временных рядов в § 3.9.