10.5. Дальнейшие свойства канонических переменных

Вначале сопоставим введенные в этой главе канонические ряды с обычными каноническими переменными для векторных случайных величин с действительными компонентами. Пусть обозначают составляющие с частотой Я соответственно рядов Тогда (см. § 4.6 и § 7.1) векторная случайная величина

    (10.5.1)

имеет ковариационную матрицу, пропорциональную матрице

При стандартном исследовании канонических корреляций величины (10.5.1) мы стали бы рассматривать собственные значения и векторы матриц, построенных с помощью (10.5.2), точнее говоря, нам понадобились бы собственные значения и векторы матрицы

    (10.5.3)

В соответствии с леммой 3.7.1 они, по сути дела, представляют собой собственные значения и векторы матрицы Резюмируя сказанное, можно заметить, что канонический анализ в частотной области ряда

может трактоваться как обычный анализ канонических корреляций для каждой из частотных составляющих рядов и их преобразований Гильберта.

Возможна и другая точка зрения: считать, что величины, появляющиеся в теореме 10.4.3, получаются в результате канонического корреляционного анализа комплексных случайных величин типа тех, которые рассматривались в теореме 10.2.6. В частности, теорема 4.4.1 позволяет предположить, что если - целое число и то значения

    (10.5.5)

будут близки к выборке объема из генеральной совокупности

Следуя указаниям, приведенным перед теоремой 10.2.6, мы пришли бы к величинам типа тех, о которых идет речь в теореме 10.4.3.

Заметим, что читатель, имеющий в распоряжении программу для вычисления на ЭВМ канонических корреляций величин с действительными компонентами, может воспользоваться ею, а не составлять новую программу для комплексного случая, учитывая упомянутое выше соответствие с действительным случаем.

Продолжая наше рассмотрение, мы можем обратиться к статистикам

    (10.5.7)

и

    (10.5.8)

, где суть решения уравнений (10.4.5) и (10.4.6). Эти статистики являются оценками зависящих от времени коэффициентов канонических рядов.

По аналогии с тем, как поступают в многомерном статистическом анализе, мы могли бы заняться определением принимающих действительные значения мер связи между рядами , таких, как -статистика Уилкса

    (10.5.9)

векторный коэффициент удаленности

или векторный коэффициент корреляции

Выборочные оценки этих коэффициентов окажутся полезными при проведении оценки степени связи между частотными составляющими рядов на частоте .

Miyata (1970) привел пример применения эмпирического канонического анализа к некоторым рядам в исследовании по океанографии.