К главе 9

Доказательство теоремы 9.2.1. Оно проводится точно так же, как приведенное ниже доказательство теоремы 9.2.3.

Доказательство теоремы 9.2.2. См. аналогичное доказательство теоремы 9.2.4.

Доказательство теоремы 9.2.3. Покажем, что собственное значение матрицы (9.2.17) не меньше чем причем равенство достигается при указанном в теореме выборе .

По теореме 8.2.4

где

Ранг матрицы D не превосходит q. Далее

где - матрица размера Последнее выражение больше или равно

так как ранг матрицы не превосходит Легко проверить, что при указанных получается матрица (9.2.17), имеющая вид (9.2.21). Поскольку собственное значение (9.2.21) равно знак равенства в предыдущем соотношении получается именно при указанном выборе.

Приведенное доказательство является аналогом рассуждений Okamoto, Kanazawa (1968), относящихся к действительному случаю.

Доказательство теоремы 9.2.4. Справедливы следующие разложения в ряд Тейлора:

См. Wilkinson (1965, стр. 68).

Убедившись, что величина асимптотически нормальна со средним и

приходим к полезному результату упр. 4.8.3(b):

для векторов , имеющих компонент. Пользуясь этими выражениями, выводим формулы для асимптотических моментов из Например,

Отсюда получаем требуемые выражения для ковариаций, поскольку собственные векторы удовлетворяют соотношениям

Свойство асимптотической нормальности вытекает из асимптотической нормальности и из теоремы Д 5.2.

Доказательство теоремы 9.3.1. Можно переписать (9.3.3) в виде

где . Первое слагаемое можно обратить в 0, выбрав

Второе же слагаемое будет минимальным, если минимален при каждом а след

здесь — матрица ранга не выше q. Теорема 3.7.4 показывает, что следует взять

где есть собственный вектор матрицы а тем самым и собственный вектор матрицы . Теперь ясно, что при указанном выборе действительно достигается минимум.

Доказательство теоремы 9.3.2. Мы получим утверждение, рассмотрев выражение кросс-спектра и

Доказательство теоремы 9.3.3. Поскольку при любом Я матрица имеет простые собственные значения, то, согласно результатам упр. 3.10.19-3.10.21, эти собственные значения и соответствующие собственные векторы будут голоморфными (в действительном смысле) функциями матричных элементов.

Выражения (9.3.29) и (9.3.30) мы получим, сославшись на теорему 3.8.3. Из этих выражений, в свою очередь, выводим (9.3.31) и (9.3.32), привлекая (9.3.28).

Доказательство теоремы 9.3.4. Искомая величина должна быть некоторой линейной комбинацией строк пусть это будет

Нужный нам ряд должен быть ортогонален поэтому при все . Дисперсия величин (9.3.33) может быть

представлена в виде

где Очевидно, что эта дисперсия максимальна, если

что и требовалось показать.

Доказательство теоремы 9.3.5. Матрица спектральной плотности ряда (9.3.35) задается выражением

в котором Теорема 9.2.3 показывает, что собственные значения минимальны при упомянутом в формулировке утверждения выборе

Доказательство теоремы 9.4.1. По теореме Виланда—Хоффмана [Wilkinson (1965)],

Кроме того, из теорем 7.4.1 и 7.4.3 следует, что

и так как

то получается выражение (9.4.5).

Выражения (9.4.6) и (9.4.7) выводим из разложений в ряд Тейлора, употреблявшихся при доказательстве теоремы 9.2.4:

Доказательство теоремы 9.4.2. Формулы (9.4.13) и (9.4.14) получаем из выражений, использованных при доказательстве теоремы 9.2.4:

привлекая результат (7.4.13), который при рассматриваемых условиях имеет вид

Доказательство теоремы 9.4.3 получается, если применить рассуждения теоремы 9.2.4 и выражения, выписанные при доказательстве теоремы 9.4.1.

Доказательство теоремы 9.4.4. Собственные значения и собственные векторы матрицы являются непрерывными функциями ее элементов. Следовательно, наша теорема вытекает из теорем 7.3.3 и Д 5.1.