2.5. Спектр второго порядка

Предположим, что ряд является стационарным, и, как говорилось в § 1.3, зависимость его членов мала в том смысле, что становятся все менее зависимыми при для . Разумно потребовать, чтобы

    (2.5.1)

В таком случае мы определим спектр второго порядка рядов как функцию

При условии (2.5.1) функция ограничена и равномерно непрерывна. Если компоненты ряда действительны, то значит

Из выражения (2.5.2) также видно, что как функция X имеет период

Действительный параметр X, появляющийся в (2.5.2), называется радианной или угловой частотой в единицу времени, либо просто частотой. Если то называется спектром мощности ряда на частоте то называется кросс-спектром рядов на частоте X. Заметим, что если с вероятностью единица то кросс-спектр в действительности является спектром мощности . Refab(X) и Imfab(X) называются соответственно коспектром и квадратурным спектром. Функция носит название фазы спектра, а называется амплитудой спектра.

Пусть автоковариационные функции объединены в одну матричную функцию имеющую элементом, стоящим на пересечении строки и столбца. Допустим также, что спектральные функции второго порядка объединены в одну матричную функцию таким же образом, как это описано выше для Тогда определение (2.5.2) может быть переписано в виде

    (2.5.4)

Матричная -функция — называется матрицей спектральной плотности ряда При условии (2.5.1) соотношение (2.5.4) можно обратить и получить представление

    (2.5.5)

Теорема 2.5.1 покажет нам, что матрица (X) эрмитова и неотрицательно определенная, т. е. для всех векторов комплексными компонентами.

Теорема 2.5.1. Пусть - r-мерный временной ряд с автоковариационной функцией удовлетворяющий условию

    (2.5.6)

Тогда матрица спектральной плотности

    (2.5.7)

эрмитова и неотрицательно определенная.

Для отсюда вытекает, что спектр мощности будет действительным и неотрицательным.

В свете этой теоремы и с учетом свойств симметричности и периодичности, указанных выше, спектр мощности может рассматриваться как неотрицательная функция на промежутке . Свойства спектра мощности мы детально исследуем в гл. 5.

В случае когда векторный временной ряд имеет конечные вторые моменты, но необязательно удовлетворяет некоторым свойствам перемешивания типа (2.5.1), мы все же можем получить спектральное представление, аналогичное (2.5.5). А именно, справедлива

Теорема 2.5.2. Пусть — -мерный временной ряд, стационарный в широком смысле и имеющий конечную ковариационную функцию для Тогда существует -матричная функция , элементами которой являются функции ограниченной вариации и приращения которой неотрицательно определены, такая, что

Эта функция задается формулой

    (2.5.9)

Функция называется спектральной мерой ряда . В случае когда выполнено она записывается в виде

Представление (2.5.8) получили Herglotz (1911) для одномерных действительных функций и Cramer (1942) в векторном случае.